01. Интеграл Римана. Основные определения

1. Разбиением Р отрезка называется конечная система точек Отрезки называются отрезками разбиения. Диаметром разбиения называется максимум длин отрезков разбиения:

2. Если на каждом из отрезков , соответствующих разбиению Р выбрана точка , то определено разбиение Р с выбором точек .

3. Пусть на задана функция , Р – разбиение , - выбор точек.

Сумма называется Интегральной Суммой для на , соответствующей данному разбиению Р и данному выбору точек :

.

4. Если существует предел когда диаметр разбиения и этот предел не зависит от разбиения Р и выбора точек , то он называется Римана от функции на промежутке и обозначается .

5. Функция , для которой называется интегрируемой на по Риману или просто интегрируемой, и называются соответственно верхним и нижним пределами интегрирования, - переменной интегрирования.

6. Теорема (Необходимый признак интегрирования)

Если функция интегрируема на , то она ограничена на этом промежутке.

Ограниченность не является достаточным признаком: существует ограниченные на функции не являющиеся интегрируемыми. Примером таких функций является функция Дирихле:

7. Нижней интегральной суммой Дарбу функции , соответствующей разбиению Р называется

8. Верхней интегральной суммой Дарбу, соответствующей разбиению Р, называется

Суммы Дарбу обладают следующими свойствами:

1) Интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и данному выбору точек удовлетворяет неравенствам

.

2) При увеличении количества точек разбиения нижняя интегральная сумма разве что увеличивается, а верхняя – разве что уменьшается.

3) Каковы бы ни были разбиения

.

4) Множество всех нижних интегральных сумм ограничено сверху, множество всех верхних интегральных сумм - снизу.

5) Infimum множества называется верхним интегралом и обозначается .

6) Supremum множества - нижним интегралом и обозначается .

Следующая >