02. Оригінали і зображення. Основні визначення

Визначення 1. Оригіналом ми будемо називати любу комплексну функцію дійсного аргументу , якщо вона задовольняє три умови:

а) функція і її похідна на любому кінцевому проміжку осі мають не більше кінцевої кількості точок розриву першого роду;

б) функція при ;

в) існують такі сталі і , що .

Умова а) означає, що будь-який скінченний інтервал осі можна розбити на скінченне число таких інтервалів, в кожному з яких і неперервні і в кінцевих точках цих інтервалів мають скінченні ліві і праві границі.

Отже, оригінали ні при яких не перетворюються в нескінченність. Так функція і функція не є оригіналами й з розгляду вилучаються.

Умова б), яка вимагає рівності оригіналу нулю при , практично не є обмежливою, бо при розв’язанні диференціальних рівнянь, відповідних фізичним задачам (а для цього, взагалі, і будується операційне числення), нас цікавлять значення функцій, заданих початковими умовами, які завжди можна прийняти за момент .

На практиці ми будемо записувати лише той вираз оригіналу , який він має при , але слід пам’ятати про умову б). Тобто, якщо написано , то це слід розуміти так:

Надалі під значенням оригіналу при будемо розуміти праву границю:

.

Умова в) накладає обмеження на характер зростання оригіналу , тобто вимагає, щоб при зростала не швидше показникової функції .

Число з умови в) будемо називати показником зростання . Отже, наприклад, функція

Не є оригіналом, бо при вона зростає бистріше, чим дозволяє умова в).

Більшість функцій, що зустрічаються на практиці, задовольняють умовам (а - в).

Визначення 2. Зображенням функції називають функцію комплексної змінної , визначену співвідношенням

. (1)

Інтеграл в правій частині цієї рівності називають інтегралом Лапласа для функції . Операцію переходу від оригіналу до зображення називають перетворенням Лапласа. Речення "оригінал має зображення " записують символічно так:

(стрілка направлена завжди від зображення до оригіналу).

Приклад 1. Знайти зображення одиничної функції Хевісайда (Рис. 1)

(2)

Рис. 1

Розв’язання. Функція є оригіналом тому, що виконуються три умови а), б), в). В умові в) для цієї функції .

Користуючись визначенням (2), знаходимо

,

Причому останній висновок можна зробити тільки в тому випадку, коли . Якщо , то

і .

Отже,

. (3)

Приклад 2. Знайти зображення функції

де - комплексне число.

Розв’язання. Ця функція неперервна при і обмежена, тобто є оригіналом.

,

якщо тільки .

Останнє має місце при , або (тобто правіше прямої )

. (4)

Роль множника в лівій частині (4) полягає в тому, що він гасить (обертає в нуль) функцію при .

Надалі будемо вважати, що всі функції, які розглядаються, мають множник , але сам множник не будемо записувати. Наприклад, можна писати і т. д., розуміючи при цьому відповідно і т. д.

< Предыдущая		Следующая >