09. Вероятный смысл плотности распределения

Пусть F(X) – функция распределения непрерывной случайной величины X . По определению плотности распределения, F(X) = F'(X), или

.

Разность F(X+∆х) - F(X) определяет вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (X, X+∆х). Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (X, X+∆х), к длине этого интервала (при ∆х→0) равен значению плотности распределения в точке Х.

Итак, функция F(X) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки Х. Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.

Или

.

Так как F'(X) = F(X) и Dx = ∆X, то F(X+∆X) - F(X) ≈ F(X)∆X.

Вероятностный смысл этого равенства таков: Вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (X, X+∆X) ,приближенно равна произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала ∆х.

Геометрически этот результат можно истолковать так: Вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (X, X+∆X) ,приближенно равна площади прямоугольника с основанием ∆х и высотой F(X).

< Предыдущая		Следующая >