2.01. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия, связанные с ДУ 1-го порядка

Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид

. (1)

Если уравнение (1) можно разрешить относительно производной, то его записывают в виде

. (2)

При этом функция задана на плоскости В некоторой области D, как правило, непрерывна вместе с частной производной .

Определение 1. Решением или частным решением уравнения (1) на некотором промежутке называется функция , имеющая на этом промежутке производную и удовлетворяющая уравнению (1), т. е.

.

Определение 2. Oбщим интегралом или общим решением уравнения (1) называется равенство

Ф . (3)

Где - произвольная постоянная, а функция непрерывно-дифференцируемая в некоторой области и обладает свойством: если продифференцировать равенство (3) по

. (4)

И исключить из (3) и (4) константу , то получится уравнение эквивалентное уравнению (1).

Если уравнение (3) можно разрешить относительно , то

. (5)

Как следует из этого равенства, геометрически общее решение ДУ 1-го порядка представляет собой однопараметрическое семейство кривых на плоскости . Их называют интегральными кривыми уравнения (1) или (2).

Связь между общим и частным решениями ДУ (1) или (2) сформулируем в виде

Определение 3. Совокупность всех частных решений ДУ (1) образует его общее решение и наоборот, любое частное решение следует из общего при некотором значении постоянной в общем решении.

Это определение следует из теоремы:

Теорема. Пусть функция непрерывно-дифференцируемая в некоторой области и является общим решением ДУ (1). Тогда, функция есть решение ДУ (1) при некотором , и обратно, всякое решение ДУ (1) удовлетворяет уравнению при некотором .

Необходимость. Пусть представляет собой общее решение ДУ (1). Зафиксируем : . Обозначим левую часть . Дифференцируем это тождество по , найдем . Подставим эти значения в (4), получим

,

т. е. есть решение ДУ (1).

Достаточность. Пусть есть решение ДУ (1), следовательно, оно есть решение уравнения (4), т. e. . Интегрируя это тождество по в пределах от до , получим

Откуда, есть решение уравнения.

< Предыдущая		Следующая >