3.6. Идентификация оптимумов

 Теорема 1. Необходимые условия того, что х* является точкой Локального минимума (максимума) дважды дифференцируемой функции F на открытом интервале (A,B), выражаются следующими соотношениями:

Эти условия необходимы, но не достаточны для того, чтобы точка Х* была точкой локального минимума (максимума).

Определение. Стационарной точкой называется точка х*, в которой

,

Если стационарная точка не соответствует локальному оптимуму (минимуму или максимуму), то она является Точкой перегиба или седловой точкой.

Теорема 2. Пусть в точке х* первые (N-1) производные функции обращаются в нуль, а производная порядка N отлична от нуля. Тогда:

1)  если N – нечетное, то х* - точка перегиба;

2)  если N – четное, то х* - точка локального оптимума.

Кроме того,

A)   если эта производная положительная, то х* - точка локального минимума;

Б)  если эта производная отрицательная, то х* - точка локального максимума.

Замечание. Выше предполагалось, что рассматриваемая функция дифференцируема или, что её первая производная существует и непрерывна. Однако если функция не является дифференцируемой, во всех точках области определения, то даже необходимое условие наличия оптимума, позволяющее идентифицировать стационарные точки, может не выполняться в точке оптимума.

Пример 8.

Рассмотрим функцию

 Эта функция непрерывна во всех точках действительной оси, но недифференцируема при Х=2. Функция достигает максимума в точке Х=2, которая не является стационарной в соответствии с данным выше определением. Это подтверждает тот факт, что Теорема 1 является необходимым, но не достаточным условием оптимума.

Пример 9. Найти и идентифицировать оптимумы функции

Решение. Найдем первую производную функции:

Найдем стационарные точки. Для этого решим уравнение  Следовательно,  получили единственную стационарную точку Х=0. Найдем вторую производную  

Для идентификации точки оптимума, вычислим значение второй производной в стационарной точке.

Х

F(X)

0

-8

2

Значит, Х=0 – точка  минимума.

Пример 10. Найти и идентифицировать оптимумы функции

Решение. Сначала найдем первую производную функции:

.

Найдем стационарные точки. Для этого решим уравнение:

Следовательно, стационарные точки:  

Найдем вторую производную

Для идентификации точек оптимума, вычислим значение второй производной в стационарных точках.

X

F(x)

0

36

0

1

27.5

60

2

44

-120

3

5.5

540

 Значит, Х=1 х=3 – точки локальных минимумов, Х=2 – точка локального максимума.

Чтобы идентифицировать точку Х=0, найдем и вычислим третью производную:

Так как  и N=3 – нечетное, то (по теореме 2) Х*=0 – точка перегиба.

 Вопросы к главе 3

1.  Приведите определение функции.

2. Что такое область определения и область допустимых значений функции?

3. Какие существуют способы задания функции? Приведите конкретные примеры каждого способа.

4.  Дайте определения возрастания и убывания функции. Приведите примеры возрастающей и убывающей функций.

5.  Как проверить, является ли функция возрастающей или убывающей?

1. Приведите пример функции, описывающей зависимость предложения от цены. Постройте ее график.

2. Что такое точка перегиба и как её идентифицировать?

3.  Как проверить, является ли функция выпуклой или вогнутой?

4.  В чем состоит свойство унимодальности функций?

5.  Пусть данная точка удовлетворяет достаточным условиям существования локального минимума. Как установить, является ли этот минимум глобальным?

6.  Приведите алгоритм определения глобального оптимума.

Яндекс.Метрика