3.5. Критерий оптимальности

 При анализе задач возникают два общих вопроса:

1)  Вопрос анализа в «статике». Как определить, представляет ли данная точка Х* оптимальное решение задачи?

2)  Вопрос анализа в «динамике». Если Х* не является точкой оптимума, то какая последовательность действий приводит к получению оптимального решения?

В этом разделе основное внимание уделяется решению вопроса анализа «в статике», а именно построению множества Критериев оптимальности, позволяющих определить, является ли данное решение оптимальным.

Определение. Функция F(X), определенная на множестве S, достигает своего Глобального минимума в точке х**S в том и только в том случае, если

F(X**)  F(X) для всех х  S.

Определение. Функция F(X), определенная на множестве S, имеет Локальный минимум в точке х*  S в том и только в том случае, если F(X*)  F(X) для всех х, удаленных от х*

На расстояние, меньшее , то есть если существует >0 такое, что для любых х, удовлетворяющих условию /х-х*/<, выполняется неравенство F(X*)  F(X).

 Пример 7. Рассмотрим график некоторой функции Y = F(X) (рис. 12). Тогда имеем:

Х1 – точка локального максимума;

Х2 – точка локального минимума;

Х3 – точка глобального максимума;

Х4 – точка глобального минимума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание.

1)  Всякая точка глобального минимума является и точкой локального минимума этой функции. Обратное, вообще говоря, неверно.

2) Аналогичные определения глобального максимума и локального максимума можно получить путем замены знака неравенства на противоположный.

3) Если функция обладает свойством унимодальности, то локальный минимум автоматически является глобальным минимумом.

4) Если функция не является унимодальной, то возможно наличие нескольких локальных оптимумов, при этом глобальный минимум можно определить путем нахождения всех локальных оптимумов и выбора наименьшего из них.

Яндекс.Метрика