3.3.Определение глобального экстремума

 Необходимо максимизировать F(X) при ограничениях , где A и B – установленные границы изменения значений переменной х. Проверку наличия локального оптимума

Необходимо проводить не только в стационарных точках, но и в граничных точках интервала.

Алгоритм определения глобального максимума (минимума):

Шаг 1. Приравнять  и найти все стационарные точки.

Шаг 2. Выбрать все стационарные точки, которые расположены в интервале [A, B]. Обозначим эти точки через  Х1, х2, …, хN. Проверку наличия локального оптимума следует проводить только на множестве указанных точек, дополненном точками A и B.

Шаг 3. Найти наибольшее (наименьшее) значение F(X)  из множества F(A), F(B), F(X1), …, F(Xn). Это значение соответствует глобальному максимуму (минимуму).

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции На отрезке [-4; 4].

Решение. Найдем критические точки функции U, лежащие внутри отрезка [-4; 4], и вычислим ее значения в этих точках:  в точках Х = -1, х = 3. Эти точки лежат внутри рассматриваемого отрезка и являются критическими.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:

U(-1) =40, u(3) = 8, u(-4) = -41, u(4) = 15.

Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции U на отрезке [-4; 4] равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке Х = -1, а ее наименьшее значение равно –41 и достигается на левой границе отрезка Х = -4.

Вместо перебора всех стационарных точек и соответствующих значений функции можно воспользоваться специальными процедурами, позволяющими найти глобальный оптимум с меньшими затратами времени, при условии, что функция обладает определенными свойствами.

Замечание. Для унимодальной функции локальный оптимум является глобальным.

В теории оптимизации выделяется важный класс унимодальных функций, а именно класс выпуклых и вогнутых функций.

Яндекс.Метрика