24. Основная лемма вариационного исчисления

Мы сейчас сформулируем и докажем одну простую лемму. Она играет настолько важную роль в вариационном исчислении, что так и называется: основная лемма вариационного исчисления. Дальше она будет использоваться при выводе дифференциальных уравнений Эйлера.

Лемма 1. Если H(X)Ck на [X1, X2] интеграл от произведения этой функции на другую функцию F(X)Ck по [X1, X2] равен нулю:

(2.35)

То это возможно только в том случае, если F(X)≡0 X [X1, X2].

Доказательство леммы 1. Проведём доказательство от противного. Пусть в какой-либо точке X0[X1, X2]: F(X0)≠0. Для определённости будем считать, что F(X0)=A>0. Вы когда-то изучали свойства функций, непрерывных на интервале, и знаете: если непрерывная функция в какой-то точке X0 отлична от нуля, то существует некоторая малая окрестность этой точки, в которой функция тоже отлична от нуля и имеет тот же знак, что и в точке X0. У нас F(X) Ck, т. е. является непрерывной. Поэтому наверняка существует некоторый интервал [X-, X+], в котором F(X0)>0.

Покажем теперь, как можно построить такую функцию h(X)Ck, что (2.35) будет нарушаться. Возьмём h(X) в виде:

(2.36)

За счёт показателя N можно добиться дифференцируемости нужное число раз, а за счёт K - сделать функцию сколь угодно большой или малой. Нарисуем с помощью MATLAB пример такой функции.

Тогда (2.35) будет нарушаться:

(2.37)

Т. к. каждый из сомножителей под интегралом положительный. Аналогично, если в какой-либо точке F(X0)<0, то для этой же h(X) интеграл (2.37) будет отрицательный. Отсюда по принципу от противного следует, что, если (X) будет выполняться (2.35), то это возможно, только если F(X)є0.

Замечание 3. Основная лемма вариационного исчисления справедлива и для функции нескольких переменных. Сформулируем и докажем её для функции двух переменных. Формулируется она так: если (X,Y)Ck в области D

(2.38)

То это возможно только в том случае, если F(X,Y)≡0 (X,Y)D.

Доказательство проводится так же, методом от противного. Предположим, что в какой-то точке (X0,Y0)D: F(X0,Y0)=A>0. Значит, существует некоторая малая d-окрестность точки (X0,Y0), в которой F(X0,Y0)>0. Построим функцию h(X,Y) в виде:

(2.39)

Нарисуем трёхмерный график этой функции С помощью MATLAB. Посмотрите, как вычисляется функция z на заданной сетке. Мы проводим вычисления по первой части формулы (2.39), а затем умножаем поэлементно на булевский массив. При этом происходит автоматическое приведение типов, и булевский массив преобразуется в массив нулей и единиц. Т. о., в области D вычисления проводятся по первой части (2.39), а вне D будет 0.

Для этой функции h(X,Y) условие (2.38) будет нарушаться: подынтегральная функция будет отлична от нуля (причём положительна) только в d-окрестности точки (X0,Y0), поэтому интеграл (2.38) будет положительный. Аналогично, если в какой-то точке F(X0,Y0)<0, то для подобранной нами h(X,Y) интеграл (2.38) будет отрицательный. Следовательно, добиться выполнения (2.38) при произвольной h(X,Y) можно, только если F(X,Y)≡0.

< Предыдущая