logo

Решение контрольных по математике!!!

44. Формула Шермана-Моррисона и ее применение

Пусть – невырожденная квадратная матрица размера , а и – произвольные -мерные векторы столбцы. Если , то матрица невырожденная и имеет обратную матрицу

. (5.1)

Это равенство называется Формулой Шермана – Моррисона. Для доказательства ее истинности умножим равенство (5.1) на матрицу :

.

Применим формулу Шермана – Моррисона для вывода модифицированной формулы Бройдена – Флетчера – Гольдфарба – Шанно (4.35) обращением матрицы (4.29)

, (5.2)

Введем обозначения:

, , (5.3)

, , , , , , (5.4)

, , , . (5.5)

Формула (5.2) примет вид:

. (5.6)

Рассмотрим матрицу . По формуле (5.1) имеем:

.

С учетом обозначений (5.3)–(5.5)

.

Обозначая

, (5.7)

Получим:

. (5.8)

Рассмотрим матрицу (5.6) . По формуле (5.1) имеем:

.

Учитывая (5.8),

.

Перепишем это равенство в виде:

, (5.9)

Где

, . (5.10)

На основании (5.8) имеем:

,

. (5.11)

С учетом обозначений (5.4) и (5.5)

, .

Поскольку матрицы и симметрические, , , то

, .

Поэтому выражение (5.11) примет вид:

. (5.12)

На основании (5.5) и (5.8) для в (5.10) получим:

,

, .

Подставим последнее выражение, выражения (5.8) и (5.12) в (5.9):

,

.

С учетом (5.7) получим:

,

.

Возвращаясь к исходным обозначениям по равенствам (5.3)–(5.5), получим окончательно модифицированную формулу БФГШ (4.35)

.

 
Яндекс.Метрика
Наверх