10. Вероятность наступления хотя бы одного события

Сложные события выражаются через другие наблюдаемые события с помощью алгебраических операций, описанных в §2. Основные формулы для вычисления вероятностей таких событий:

Р() = 1 - Р(А). (2)

Р(А · В) = Р(А) · Р(В / А) = Р(В) · Р(А / В) , если Р(А) > 0, Р(В) > 0 (формула умножения вероятностей); (3)

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А · В)

(формула сложения вероятностей). (4)

Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по мишени, причем вероятности попадания при одном выстреле в мишень для них равны p1 = 0,8, p2 = 0,6. Каждый произвел по одному выстрелу. Вычислить вероятность события А = {произойдет ровно одно попадание}.

Рассмотрим события А1 = {первый стрелок попал в мишень} и А2 = {второй стрелок попал в мишень}. Тогда = {первый стрелок промахнулся}, a = {второй стрелок промахнулся}. В мишени окажется ровно одна пробоина в тех случаях, когда либо первый попал, а второй промахнулся, либо первый промахнулся, а второй попал. Поэтому А = А1 · + А2 ·. Последние два события несовместны, поэтому сумма их вероятностей равна вероятности их суммы А. События А1 и , а также А2 и попарно независимы, т. е. вероятности произведений этих событий равны соответствующим произведениям вероятностей этих событий. Т. к. Р(А1)=p1=0,8, P(A2)=p2=0,6, то Р() = 1 - p1 = q1 = 0,2, P() = 1 - p2 = q2 = 0,4 и Р(А) = p1q2 + p2q1 = 0,44.

Вероятность наступления “хотя бы одного события” (т. е. суммы нескольких событий ) вычисляют по формуле

(5)

Если же эти события попарно независимы, то

Пример 2. В продукции предприятия 10% бракованных изделий. Какова вероятность, что среди 4 взятых независимо изделий хотя бы одно бракованное?

Пусть А - интересующее нас событие, А = A1+ A2+ A3+ A4 , где A1 = {первое изделие бракованное}, A2 = {второе изделие бракованное} и т. д. Так как A1, A2, A3, A4 независимы, то и события также независимы. Событие = {среди 4 изделий ни одного бракованного} = , где = {первое изделие не бракованное} и т. д. Так как Р(A1) = Р (A2) = Р (A3) = Р(A4) = 0,1 (=10%) , то Р() = (1 - 0,1)4 = 0,94 = 0,6561. Значит, Р(А) = 1 - Р() = 0,3439.

Если изделий не 4 , а 2 , то вероятность того, что из этих двух изделий хотя бы одно бракованное, можно вычислить с помощью формулы (3), т. е. не переходя к противоположному событию:

P (A1+A2) = P (A1) + P (A2) - P (A) P (A2) = 0,1 + 0,1 - 0,01 = 0,19.