logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Матричная теория 03. Утверждения, справедливые для любых линейных пространств

03. Утверждения, справедливые для любых линейных пространств

Из аксиом, определяющих линейное пространство, можно в качестве логических следствий получить ряд утверждений, справедливых для любых линейных пространств.

Определение. Вектор , удовлетворяющий уравнению Для любых Из , называют разностью векторов И, и обозначают . Операцию, которая ставит в соответствие любым двум элементам Из Третий элемент из , называют вычитанием.

Для того, чтобы введенное определение было корректным, необходимо доказать теорему о существовании и единственности решения уравнения .

Теорема (о существовании и единственности разности элементов).

Для любых двух векторов Линейного пространства, существует такой единственный вектор Из , что .

Доказательство.

Покажем, что такой вектор существует. Возьмем И убедимся, что этот элемент удовлетворяет уравнению .

Действительно, .

Докажем, что этот вектор единственный. Возьмем другой вектор Из , удовлетворяющий нашему уравнению , и выполним следующие преобразования:

.

Таким образом, любой вектор, удовлетворяющий определяющему уравнению, равен , что и доказывает единственность такого вектора.

Приведем еще, без подробного доказательства, несколько важных следствий из доказанной теоремы и аксиом линейного пространства.

1. Существует единственный нулевой элемент , равный Для любого Из что следует из аксиом и теоремы.

2. Существует единственный противоположный элемент , равный для любого Из , что следует из аксиом И теоремы.

3. Соотношения или влекут равенство Для любых из , что следует из аксиомы и доказанной теоремы.

Теорема (об условиях равенства нулю произведения числа на вектор ).

Произведение числа на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю или вектор равен нулевому вектору.

Доказательство. Пусть число равно нулю или вектор Является нулевым. Покажем, что . Пусть вначале . Справедливо . В силу единственности нулевого вектора отсюда следует . Если , то рассмотрим равенства . Снова, в силу единственности нулевого вектора, следует .

Обратно, пусть . Покажем, что Или . Доказательство проведем методом от обратного. Предположим, что равенство Истинно, а заключение Или ложное, т. е. справедливо И . Тогда по предположению и уже доказанной первой части нашей теоремы получим .

С другой стороны, по нашему предположению и аксиомам Имеем . Полученное противоречие доказывает вторую часть теоремы.

Из доказанных выше теорем выведем еще два следствия.

ДЛя любого вектора Из противоположный вектор равен .

Действительно, Отсюда, в силу единственности противоположного вектора, получаем доказательство следствия.

Для любого вектора Из противоположный вектор к противоположному равен исходному вектору, т. е. .

Действительно, , что и утверждается в следствии.

 
Яндекс.Метрика
Наверх