01. Линейное пространство
Множество 
элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, а его элементы – векторами, если выполнены следующие условия.
1. Имеется операция сложения векторов, по которой каждой упорядоченной паре векторов ставится в соответствие третий вектор, что обозначается как 
.
2. Имеется операция умножения числа на вектор, по которой каждой упорядоченной паре из числа и вектора ставится в соответствие вектор, что обозначается как 
.
3. Для любых векторов 
из и чисел 
указанные операции удовлетворяют следующим восьми аксиомам:
Сложение коммутативно, т. е. 
;
Сложение ассоциативно, т. е. 
;
Существует нулевой вектор 
Такой, что для любого вектора
Выполняется 
;
Для любого вектора существует противоположный вектор
такой, что выполняется 
;
Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел, т. е. 
;
Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов, т. е.
;
Умножение на число ассоциативно, т. е. 
;
При умножении на единицу вектор не изменяется, т. е. 
.
Знак равенства, используемый в представленных аксиомах и во всех последующих выражениях, означает, что слева и справа от знака стоят одни и те же векторы, представленные в различных формах записи.
Подчеркнем, что, определяя линейное пространство, мы абстрагируемся как от природы изучаемых объектов, так и конкретного вида основных операций.
Таким образом, математическая структура линейной алгебры имеет вид
,
Причем элементы из множества называются векторами, элементы из множества 
являются числами, а операции сложения векторов и умножения числа на вектор должны удовлетворять восьми указанным выше аксиомам.
Если природа изучаемых объектов и правила выполнения двух основных операций указаны в явном виде, то соответствующее линейное пространство называют конкретным.
| Следующая > |
|---|
