8.2. Векторы и векторные пространства

Рассматривая, как развивалось то или иное матема­тическое понятие, мы учимся понимать роль и значение всей математики. Наряду с кольцами и полями, одним из важнейших понятий в математике, физике и технике является Вектор. Эволюция этого понятия — от На­правленного отрезка до сложнейших Векторных про­странств — история интересная и поучительная.

Первоначально вектором называли направленный отрезок, прикрепленный к какой-либо точке. С помо­щью направленных отрезков удобно иллюстрировать физические величины, которые характеризуются не только величиной, но и направлением: силу, скорость, напряженность электрического поля и т. д.

Векторы, прикрепленные к одной точке, можно скла­дывать по правилу параллелограмма. С физической точки зрения сумма двух или более векторов представляет собой равнодействующую сил, действующих на точку (рис. 35).

Векторы, прикрепленные к одной точке, можно не только складывать, но и вычитать, умножать на числа. Разностью двух векторов и называется вектор — , Определяемый равенством + ( – ) = . Произведением вектора на число K называется вектор = K, при­крепленный к той же точке, что и вектор ; длина век­тора Определяется равенством | | = |K| • ||, а направле­ние совпадает с направлением вектора ||, если K число положительное, и противоположно вектору , если K — Число отрицательное (рис. 35). При этом, каковы бы ни были векторы , , и числа K, I, всегда выполняются следующие равенства:

Математиков, которые рассматривают векторы вне их связи с физическим содержанием, не удовлетворяло, что нельзя складывать векторы, прикрепленные к разным точкам. Выход нашелся в том, чтобы сделать векторы свободными от точки прикрепления и разрешить им пе­редвигаться параллельно исходному положению. Иными словами, Свободный вектор можно представлять себе в виде совокупности всевозможных направленных отрез­ков, параллельных между собой, имеющих одну и ту же длину и одно и то же направление. Такие отрезки назы­вают Эквивалентными.

Свободные векторы просто задавать с помощью координат. Напомним, что Координатами вектора — на­правленного отрезка на плоскости называются его проекции на координатные оси Х и Y (см. рис. 36). Очевид­но, что все эквивалентные направленные отрезки имеют одинаковые координаты. Поэтому последние можно счи­тать координатами соответствующего свободного вектора.

В пространстве направленный отрезок имеет три ко­ординаты: проекции на координатные оси X, Y и Z. Следовательно, свободный вектор в пространстве имеет также три координаты.

Итак, теперь вектор можно заменить эквивалентным объектом — совокупностью его координат. Вектор на плос­кости — это пара чисел (а1,а2), вектор в пространстве — тройка чисел (а1, а2, а3). Сложение векторов и умножение их на числа теперь осуществляется также просто. Чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответствую­щие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно умножить на это число его координаты. Напри­мер, (1,2,–3) + (–4,6,4) = (–3,8,1), 2 • (1,2,–3) = (2,4,–6).

Такая точка зрения на векторы оказалась исключи­тельно плодотворной. Под определение вектора сразу по­пало много физических и математических объектов. На­пример, всякое элементарное событие, происходящее в пространстве в точке с координатами (х, у,z) в момент вре­мени T, можно рассматривать как четырехмерный вектор (X,Y,Z,T). Так мы приходим к Пространству событий — Одному из основных понятий современной физики. Дру­гой пример. Всякий технологический процесс характеризуется набором различных параметров, которые фикси­руются приборами, показывающими время, скорость процесса, давление, вязкость и т. п. Допустим, что таких параметров 10. Тогда состояние процесса определяется набором из десяти чисел, т. е. десятимерным вектором.

Количество координат вектора называется Размерностью. Векторы одной и той же размерности можно складывать и умножать на числа по тем же правилам, что двумерные и трехмерные. И при любой размерности будут выполняться свойства (2). Таким образом, мы приходим к наиболее общему аксиоматическому опреде­лению векторного пространства:

Векторным пространством называется всякое мно­жество, для элементов которого определена операция сложения и определено умножение элементов на числа таким образом, что выполняются свойства (2).

Свободный вектор называют еще Параллельным векторным полем. Термин «векторное поле» возник в фи­зике, и его смысл вполне соответствует значению этого слова в обычном языке. Мы представляем себе поле как некоторый участок земли, засеянный, скажем, пшени­цей. Теперь представим себе, что колос пшеницы — это вектор, и что колосья (векторы) растут в каждой точке участка. Это и будет векторное поле, причем не обяза­тельно параллельное. Параллельное поле получается в случае, когда все «колоски» параллельны и имеют оди­наковую длину.

Множество примеров векторных полей мы находим в физике: электрические и магнитные поля, поле тяготе­ния. Поток жидкости или газа в трубе порождает вектор­ное поле скоростей: в каждой точке потока определен вектор скорости.

Математики иногда рассматривают векторное поле как функцию, которая каждой точке пространства сопоставля­ет некоторый вектор, как бы прикрепленный к этой точке. Векторные поля представляют собой один из важнейших объектов изучения в современной физике и математике.

< Предыдущая		Следующая >