6.3. Интеграл

Одна из самых распространенных практических за­дач — вычисление длин, площадей, объемов и т. д. Если фигура простая (отрезок прямой, окружность, треуголь­ник, параллелограмм, правильная пирамида и т. д.), то можно воспользоваться простейшими формулами, кото­рые были известны еще математикам древности. В слу­чае же, если фигура достаточно сложная, простыми формулами уже не обойтись. Тогда применяют Интег­ральное исчисление.

Различают Определенный и Неопределенный интегра­лы. Любой из вас, прочитавший предыдущий параграф и уже научившийся находить производную от заданной функции, несомненно спросил себя: а как найти функцию, если известна ее производная? Процедура нахождения производной по заданной функции называется Дифференцированием, а обратная процедура, позволяю­щая находить по заданной производной исходную фун­кцию, называется Интегрированием. Результат интег­рирования называется Первообразной функцией. Так как производная от постоянной равна нулю, то

(F(X) + с)' = F'(X),

Где С — любое действительное число. Поэтому, если для заданной функции F(X) существует одна первоообразная F(X), то их существует бесконечно много: F(X) + с. Сово­купность всех первообразных заданной функции F(X) Называется Неопределенным интегралом и для его запи­си используют весьма специфическое обозначение:

Например,

Присутствующая всюду постоянная с называется Посто­янной интегрирования.

К понятию определенного интеграла мы приходим при вычислении длины, площади, объема и т. д. Проиллюстрируем это на простейшем случае — вычислении площади под кривой.

Пусть У = F(X) — некоторая непрерывная функция (см. гл. VI, §1), заданная на промежутке [а, b]. Обозначим через S площадь между графиком этой функции и осью Х (рис. 32).

Чтобы найти S, разобьем отрезок [а,B] на маленькие равные отрезки длиной H и обозначим через DS ту часть искомой площади, которая находится над отрезком АВ (на рисунке она заштрихована). На рисунке видно, что верхняя граница заштрихованной фигуры находится между отрезками MN и PQ, которые ограничивают прямоугольники ABMN и ABPQ. Поэтому площадь заш­трихованной фигуры заключена между площадями этих прямоугольников:

Так как AQ = F(X), ВМ = F(X + H), то SABPQ = F(X)H, SABMN = F(X + H)H и предыдущие неравенства принимают вид

Аналогичные неравенства запишем для каждого из отрезков длины H, на которые разбит отрезок [а,B], а за­тем все такие неравенства сложим. В результате полу­чим неравенства

Где через S обозначена сумма всех фигур типа SABPN, Т. е. искомая площадь; буквой S1 обозначена суммарная площадь всех прямоугольников типа ABPQ, а через S2 — общая площадь всех прямоугольников типа ABMN.

Величины S1 и S2 являются функциями от перемен­ной H. Если H неограниченно уменьшать (h ® 0), то S1 и S2 будут меняться, причем S2 будет уменьшаться, а S1 — увеличиваться. Обе суммы имеют своим общим пределом число S — площадь рассматриваемой фигуры.

Итак, площадь получается как предел (или , который называется Определенным интегралом И обозначается

Связь между неопределенным и определенным интегра­лами устанавливается формулой Ньютона—Лейбница:

Где через F(X) обозначена первообразная функции F(X). Этой формулой и заканчивается процедура вычисления площади.

Примеры.

1. Найдем площадь под параболой Y = x2, 0 £ X £ l. Здесь А = 0, B = 1, поэтому

2. Найдем площадь под гиперболой У = , 1 £ X £ 2.

Имеем:

3. Найдем площадь под графиком экспоненты У = ex, х £ 0. Имеем:

В заключение приведем пример неэлементарной функции, которая имеет важные и многочисленные приложения.

Во второй главе мы рассматривали Случайные величины, т. е. такие переменные величины, значения кото­рых зависят от случая. Например, число дорожных происшествий на улицах города в течение суток; число новорожденных за месяц; число заявлений, поступив­ших в отделение милиции; скорость молекулы газа при определенной температуре; число метеоритов, падающих на Землю, и т. д. Сейчас мы рассмотрим еще одну вели­чину, которая называется Случайной ошибкой.

Пример

4. В течение часа проведено 10 измерений уровня радиации одним и тем же прибором (в микрорентгенах в час): 12,0 11,5 11,7 12,2 12,1 10,8 11,6 10,7 12,0 11,4. Результаты измерений получились различными вслед­ствие того, что и сам прибор, и человеческий глаз не являются идеальными орудиями наблюдения. Погреш­ность не может быть меньше толщины стрелки прибора; стрелка может вибрировать; угол, под которым мы смотрим на стрелку, также меняется. Кроме того, влия­ние оказывают атмосферные условия, настроение на­блюдателя и т. п. Конечно, мы считаем, что исключены всякого рода систематические ошибки, связанные, на­пример, с неисправностью прибора.

В отчете обычно показывают среднее арифметическое всех наблюдений. В нашем примере

= (12 + 11,5 + 11,7 + 12,2 + 12,1 + 10,8 + 10 + 11,6 + 10,7 +12 + 11,4 + 11,6) = 11,6.

Но для решения многих экологических проблем важно уметь оценить, насколько найденное среднее отличается от истинного значения радиации, которое нам неизвест­но (ведь в нашем распоряжении имеются только пока­зания приборов!). Как быть?

К счастью, математики умеют отвечать на этот воп­рос. Назовем Случайной ошибкой разность между средним значением И истинным значением радиации. Так как истинное значение нам неизвестно, то и случайная ошибка тоже неизвестна. Многолетние наблюдения в различных экспериментах показали, что если число опытов достаточно велико, то случайные ошибки подчиняются некоторым общим закономерностям. Для их описания используется, как правило, так называемая интегральная функция Лапласа:

Этот интеграл не выражается через элементарные функ­ции. Но его приближенные значения табулированы (см. Приложение на с. 219).

С помощью таблицы значений функции Ф(A) легко вычислить, например, вероятность того, что случайная ошибка не превосходит заданной величины H. Обозна­чим через P(H) вероятность того, что истинное значение наблюдаемой величины отличается от найденного сред­него значения Не более чем на H. Величину P(H) находят по следующей формуле:

Здесь N — число измерений, a S — среднее квадратическое отклонение полученных значений. В нашем примере N = 10,

[см. гл. II, формулы (5), (7)]. Пусть H = 0,3, тогда

Пользуясь теперь формулой (7) и Приложением, находим:

Таким образом, с вероятностью 0,93 истинное значение величины радиации заключено в промежутке от 11,6 – 0,3 = 11,3 до 11,6 + 0,3 = 11,9.

Как понимать полученный результат? Допустим, что радиационный фон в данной местности измеряли парал­лельно несколько бригад. Их результаты будут, вообще говоря, различными: у каждой бригады получится свое среднее значение . Можно гарантировать, что пример­но 93% найденных средних отклоняется от истинного значения не более чем на 0,3.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

Проводится измерение уровня загрязненности атмосферы в центре города. Получены следующие значения индекса загрязнения:

27 29 23 30 31 25 30 29 24 29 31 28 28 24 29 26 30 29 28 25 28 30 29 27 25 28 27 32 31 28.

Найдите среднее значение индекса загрязнения и вероятность того, что оно отличается от истинного значе­ния меньше, чем на 2.

< Предыдущая		Следующая >