6.2. Производная

Наиболее естественно к понятию производной мы приходим из кинематических соображений.

Напомним, что скорость тела, движущегося равно­мерно и прямолинейно, вычисляется по формуле

.

Если тело движется прямолинейно, но не равномер­но, то скорость в каждый момент времени, вообще гово­ря, разная. Скорость тела в момент времени T называют Мгновенной скоростью в точке T и обозначают V(T).

Предположим теперь, что к моменту времени T тело прошло путь S(T), а к моменту времени T + H (т. е. еще через промежуток времени H) — путь S(T + h). Тогда за время H оно прошло путь S(T + H) – S(T) и средняя ско­рость на этом участке будет

.

Предположим теперь, что промежуток H уменьшается и стремится к нулю. Тогда и путь, пройденный за это время, также стремится к нулю, а средняя скорость Vcp За промежуток времени H стремится к скорости тела в момент T. Используя определение предела, можно за­писать:

.

Эта формула является строгим определением мгновен­ной скорости и одновременно дает способ для ее вы­числения. Предел V(T) существует при естественном допущении, что в момент времени T не было никаких катаклизмов: поезд не сошел с рельсов, не было столк­новения или резкого торможения, не изменился вне­запно коэффициент трения, поезд не утащила летаю­щая тарелка и т. п.

Пример 1. При равномерном движении пройденный путь пропорционален времени, т. е. S(T) = Ct, где С — по­стоянное число. Используя предыдущую формулу, вы­числим мгновенную скорость в момент времени T:

Формула для пути теперь запишется известным обра­зом:

S = Vt.

Пример 2. До Галилея считалось, что все тела пада­ют с постоянной скоростью. Проверить это на практике было сложно. Галилей высказал предположение, что все тела падают равноускоренно, т. е. при свободном паде­нии путь пропорционален квадрату времени:

S = Ct2.

Найдем скорость в момент времени T:

В случае свободного падения тела величина 2С найдена опытным путем. Она называется ускорением сво­бодного падения и обозначается буквой G. Приближенно .

Теперь откажемся от физической терминологии и перейдем к стандартным обозначениям. Вместо «путь S(T)» будем говорить «функция F(X)», а вместо «ско­рость» говорить «Производная функции F(X) в точке х». Будем записывать функцию, как обычно, У = F(X), a производную этой функции в точке Х будем обозначать . Итак, по определению,

А из примеров 1 и 2 получаем:

Найдем производные от некоторых известных функций.

0. Производная от постоянной функции равна нулю, т. к., если функция не меняется, то ее приращение равно нулю: F(X + H) – F(X) = 0.

1. Производная от степенной функции У = Xп, N Î N. Согласно определению производной

По формуле бинома Ньютона (см. §1)

Вычтем отсюда XN, поделим почленно на H и запишем предел суммы как сумму пределов:

Все пределы, кроме первого, равны нулю, поэтому оста­ется только

Это правило применимо и для отрицательных степеней:

2. Производная от синуса.

Пользуясь определением производной, известной тригонометрической формулой «разность синусов» и свой­ствами предела, получаем:

Первый предел равен единице (первый замечатель­ный предел). Второй, используя непрерывность косинуса (см. с. 113), найдем так:

Итак,

Аналогично доказывается, что

3. Производная от показательной функции У = Aх Вычисляется по формуле:

(напомним, что ln А º logE А, где Е — неперово число). При А = е получим

4. Производная от логарифмической функции У = logA X вычисляется по формуле

В частности, при А = е получим

При вычислении производных пользуются следую­щими правилами, которые выводятся с помощью пра­вил вычисления пределов (см. гл. VI, §1):*

* Подразумевается, что все рассматриваемые производные существуют.

Производная от сложной функции F(U(X)) вычисляет­ся по формуле

Например,

Понятие производной имеет широкие приложения. Как мы уже знаем, производная от пути по времени — это скорость. Но понятие скорости возникает не только при движении. Скорость — важнейшая характеристика многих физических, химических, физиологических и других процессов, происходящих в природе, в человеке, на различных производствах и т. д. И всегда скорость представляет собой производную от некоторой функции.

Производная от скорости называется Ускорением, Она характеризует «скорость изменения скорости». При равноускоренном движении ускорение постоянно, при равномерном оно равно нулю. Если же движение (про­цесс) описывается некоторой произвольной функцией, то ускорение, вообще говоря, не постоянно и представ­ляет собой столь же важную характеристику, как и скорость.

Другое важное приложение производной — задачи на нахождение наибольших и наименьших (экстремальных) значений. Оно основано на следующем простом факте: если функция принимает в некоторой точке экстремальное значение, и производная в этой точке существует, то она (т. е. производная) равна нулю.

Пример. В тюрьме города Дрюкова собрались стро­ить железную камеру для содержания особо опасных преступников. Какое наименьшее количество железа нужно для этой цели, если по санитарным нормам вы­сота камеры должна быть не менее 2,5 м, а ее пло­щадь — не менее 6 м2?

Решение. Количество железа пропорционально пло­щади поверхности камеры, которая, как и обыкновен­ная комната, имеет вид прямоугольного параллелепипе­да. Обозначим длину камеры через А, а ширину через B. Тогда пол и потолок имеют площадь АB каждый, две боковые стены по 2,5А, две другие — по 2,5B. Общая площадь получается S = 2Аb + 5А + 5B. При этом, со­гласно санитарным нормам, АB = 6. Отсюда выразим B и подставим в выражение для 5:

Итак, мы учли все данные, но величину а еще можно выбирать произвольно, т. е. она является переменной величиной. Ее нужно выбрать так, чтобы значение S получилось наименьшим. Согласно теории, для мини­мизации функции S(A) следует приравнять нулю произ­водную S'(A). Пользуясь правилами вычисления произ­водных, находим:

Из уравнения

Находим, что А = . При этом значении А площадь бу­дет наименьшей. Она равна S = 12 + 10 12 + 10 х 2,45 = 36,5.

Есть и другие, не менее важные, приложения производной. Например, в геометрии часто используется тот факт, что прозводная от функции У = F(X) в точке Х = А Равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции F(X) в точке Х = A: У' = tg a (см. рис. 31).

< Предыдущая		Следующая >