5.2. Линейная и постоянная функции

Переменная величина и Функция — важнейшие понятия современной математики и физики. Примеры пе­ременных величин и функций поставляет нам природа. Протекающие в ней процессы и закономерности ученые облекают в форму законов физики, математики, химии и т. д. Важнейшая переменная величина — Время — Входит практически во все физические законы, связан­ные с движением. Например, известный закон прямолинейного и равномерного движения

S = V0 T (3)

Содержит две переменные величины: пройденное расстояние s (путь) и время T. Форма записи этого закона подчеркивает тот факт, что пройденный путь зависит от времени, а не наоборот. Математики в этом случае гово­рят, Что переменная величина s является линейной функцией переменной величины, t, т. е. S — Зависимая переменная, A T — независимая переменная.

Скорость V = V0 при равномерном движении постоянна, т. е. одна и та же в каждый момент времени. Но, выражаясь таким образом, мы, очевидно, считаем, что скорость является функцией времени. Это пример так называемой Постоянной функции.

Равномерное движение представляет собой математическую абстракцию, т. к. на самом деле в природе таких движений не бывает. Например, на участке Тверь—Моск­ва электричка несколько раз изменяет скорость движе­ния, останавливается. Тем не менее, может показаться, что в середине достаточно длинных перегонов скорость постоянна. Однако, так можно считать лишь приближен­но. Если бы мы измеряли скорость более точным прибо­ром, то обнаружили бы, что в разные моменты времени она различна. Это различие очень мало, но оно есть.

Когда же электричка, трогаясь с места, только набирает скорость, то последняя (опять же приближенно!) меняется с течением времени так:

V = At,

Где А — некоторая постоянная функция, называемая Ускорением. Из школьного курса физики нам известно, что линейная зависимость скорости от времени характе­ризует так называемое Равноускоренное движение, при котором пройденный путь вычисляется по формуле:

S = At2.

Предположение, что А — постоянная, тоже математическая абстракция. С помощью точных приборов можно установить, что на самом деле при разгоне электрички скорость меняется по более сложному закону, например,

V = At + Bt2,

Где B — некоторое сравнительно маленькое число. Вто­рое слагаемое, в силу его малости, обычно отбрасывают, и тогда получаются известные формулы равноускорен­ного движения. Если же его не отбрасывать, то движе­ние нельзя считать равноускоренным, и тогда формула для вычисления пути будет более сложной.

Рассмотрим еще один физический закон — Второй Закон Ньютона, который запишем так:

А = . (4)

Будем считать переменными величинами силу F и уско­рение А. Тогда равенство (4) отражает следующий физи­ческий эксперимент: на тело с массой Т действует си­ла F, которую можно менять; в результате действия этой силы тело получает ускорение А, которое, следова­тельно, также является переменной величиной — функ­цией силы F.

С математической точки зрения оба физических закона — (3) и (4) — это некоторые Линейные функции. По сравнению с другими функциями, линейные функ­ции устроены наиболее просто, но они являются и наи­более важными.

Общепринятая форма записи произвольной линейной функции такова:

У = Kx + B, K ¹ 0, (5)

Где K и B — некоторые постоянные, K ¹ 0, а Х и У — переменные, причем У зависит от Х (или является функци­ей переменного Х).

Всегда важно указать, какие значения может при­нимать независимая переменная Х. Собственно говоря, символом Х обозначается произвольный элемент некото­рого числового множества,* которое называется Облас­тью определения функции. Например, в законе равно­мерного прямолинейного движения (3) можно было счи­тать, что 0 £ T £ 2 ч 40 мин. Если же множество не ука­зано, то считается («по умолчанию»), что T может быть любым действительным числом.

* Вообще говоря, функции можно задавать не только на числовых множествах, но других функций в этой главе мы не рассматриваем.

С помощью системы координат мы можем каждую функцию изобразить наглядно, в виде Графика. Построим, например, график линейной функции

У = 2Х – 3. (6)

(Здесь K = 2, B = –3.) Подставляя вместо Х различные числовые значения, найдем соответствующие значения У И составим таблицу:

Будем считать, что каждая пара чисел Х и У, удов­летворяющих уравнению (6), служит координатами не­которой точки на плоскости. Множество всех таких то­чек и будет графиком функции (6). Некоторые из этих точек мы уже нашли, их координаты записаны в столб­цах таблицы. Если построить на плоскости точки с ко­ординатами (0,–3), (1,–1), (–1,–5), (2,1) и т. д., то все они окажутся на одной прямой, которая и будет графиком функции (6) (см. рис. 11).

Соотношение (6) называется Уравнением построенной прямой, а число K = 2 — ее угловым коэффициентом, т. к. K = tg a, где a — угол между осью Х и прямой.

Если в уравнении (5) положить K = 0, то оно примет вид

Y = b. (7)

Это Постоянная функция: величина У имеет одно и то же значение при любом Х, т. е. не зависит от переменной Х. Графиком постоянной функции У = B будет прямая, параллельная оси Х (см. рис. 12).

Уравнение

Х = А (8)

Также задает постоянную функцию, но здесь мы уже считаем, что переменная Х не зависит от переменной У. График этой функции представляет собой прямую, па­раллельную оси Y (см. рис. 12).

Если переменная У зависит от переменной Х, то и наоборот: переменная Х зависит от переменной У. На­пример, если из уравнения (6) выразить Х через У, то получим

Х = Y + . (9)

Эта функция называется Обратной по отношению к функции У = 2Х – 3. Для любой линейной функции все­гда существует ей обратная функция, т. к. из уравнения (5) всегда можно выразить Х через У:

Х = у – . (10)

Заметьте, что эта функция также является линейной.

А вот для постоянной функции обратной не существует. Почему?

Итак, графики линейной и постоянной функций представляют собой наклонные, вертикальные и гори­зонтальные прямые. Их уравнения (5), (7) и (8) можно записать в единообразной форме:

Ax + By + С = 0, (11)

Где А, В и С — некоторые постоянные, причем А и В не могут быть нулями одновременно. Левая часть уравне­ния (11) представляет собой Многочлен первой степени относительно переменных х и у.

Если А ¹ 0 и В ¹ 0, то из уравнения (11) можно выразить Х или У И мы получим либо уравнение вида (5), либо уравнение вида (9). Следовательно, при неравных нулю А и В уравнение (11) определяет линейную функцию.

Если А=0 а В ¹ 0, то в уравнении (11) остается толь­ко переменная У и его можно прописать в виде У = B. Сле­довательно, если в уравнении (11) А= 0 и В ¹ 0, то оно задает постоянную функцию. Аналогично, при А ¹ 0 и В = 0 мы получаем постоянную функцию вида Х = а.

Уравнение (11) называется Общим уравнением прямой.

УПРАЖНЕНИЯ

6. Укажите точки на плоскости, координаты кото­рых удовлетворяют одному из следующих соотношений:

Х = 0, Х > 0, х £ 0;

У = 0, У £ 0, У ³ 0;

Х = 2, Х ³ 2, х < 2;

У = –3, Y < –3, Y > –3;

У = х, у ³ х, у < х;

У = х+2, у > х+2, у < х+2;

Х+у+1=0, х+у+1 ³ 0, Х+у+1 £ 0;

2Х – 5У + 10 = 0, 2Х – 5У + 10 < 0, 2Х – 5У + 1 ³ 0.

7. Постройте следующие пары точек:

(1,2) и (2,1); (1,–3) и (–3,1); (–2,–4) и (–4.–2); (а,B) и (B, а). Проверьте их симметричность относительно пря­мой У = х — биссектрисы первого и третьего координат­ных углов.

Указание: перегните чертеж по этой прямой.

Попробуем изобразить график функции У = Kx + B и обратной ей функции (10) на одном и том же чертеже. Здесь есть некоторое препятствие. Дело в том, что в на­шей записи обратной функции независимой переменной является у (т. е. Х выражается через У), в то время как у исходной функции независимая переменная обозначена через Х. Но раз мы решили строить оба графика на одном и том же чертеже, независимую переменную в обо­их случаях необходимо обозначить одинаково, напри­мер, Х. Тогда уравнение обратной функции (10) запи­шется так:

Y = (12)

Или

Х = Ky + b. (13)

Это уравнение отличается от уравнения исходной функ­ции (5) заменой переменных Х « У. Поэтому, если коор­динаты точки М(х, у) удовлетворяют уравнению (5), то координаты точки М'(у, х) удовлетворяют уравнению (12) [или (13)]. Но эти точки симметричны относительно пря­мой Х = у — биссектрисы первого и третьего координатных углов. Следовательно, Графики функции (5) И обратной ей функции (12) Симметричны относительно прямой х = у (т. е. они совпадут, если чертеж перегнуть по этой прямой).

УПРАЖНЕНИЯ

8. Постройте графики данных функций и функций, им обратных (если они существуют):

А) У = – X + 4; б) Y = –l; в) X = 3.

Линейные функции часто используют при обработке результатов наблюдений (экспериментов). Рассмотрим два примера.

Пример 1. В электрической цепи в течение десяти секунд измеряется напряжение U с интервалом в 1 се­кунду. Результаты приведены в табл. 8.

Таблица 8

Из теории известно, что зависимость между U и T линейная, т. е.

U = Kt + B.

Здесь K и B — некоторые числа (параметры), которые нуж­но найти. Если бы измерения были точными, то хватило бы двух замеров, поскольку прямая линия вполне опреде­ляется двумя точками. Но практически результаты любого измерения являются приближенными. Если, например, построить точки с координатами t, U по данным табл. 8, то окажется, что они не лежат на одной прямой (рис. 13).

Возникла проблема: как найти такие параметры K и B, при которых линейная функция U = Kt + B достаточно точно отражает результаты эксперимента, приведенные в табл. 8?

Решим эту задачу так называемым Методом наименьших квадратов. Суть его в следующем: прямая вы­бирается так, чтобы сумма квадратов вертикальных от­клонений экспериментальных точек от искомой прямой (см. рис. 13) была как можно меньше. Это условие при­водит к формулам

, . (14)

Здесь , и — средние арифметические значений T, U и TU, а D — дисперсия значений T (см. гл. II).

Составим таблицу:

Таблица 9

В последней строке записана сумма всех чисел соответствующего столбца. Средние арифметические и дис­персию найдем по формулам (1) и (5) [гл. II]:

; ; .

Подставив найденные значения в формулы (1), получим искомые параметры:

, .

Итак, искомая линейная функция имеет вид

U = –0,61T + 12,06.

Ее график показан на рис. 13. Проверьте, что он проходит через точку (5,5; 8,7).

Рассмотренный метод применяется и для описания других зависимостей, которые приближенно можно счи­тать линейными.

УПРАЖНЕНИЕ

9. В табл. 10 приведены результаты измерения силы звука самолета (она обозначается V и измеряется в деци­белах (дб) на различных расстояниях от точки взлета (расстояние обозначается, как обычно, через S и измеря­ется в километрах).

Таблица 10

Используя метод наименьших квадратов, подберите линейную функцию, которая описывает зависимость V От S. Найдите:

А) на каком расстоянии от точки взлета звук становится смертельно опасным для человека (свыше 120 децибел);

Б) на каком расстоянии от аэродрома можно строить жилые помещения (менее 75 децибел), детские учреж­дения и больницы (60 децибел)?

Указание: Воспользуйтесь формулами (14).

< Предыдущая		Следующая >