4.3. Операции над событиями. Свойства вероятности

В теории вероятностей изучаются методы вычисле­ния вероятностей случайных событий. Часто бывает так, что вероятность некоторого события С можно най­ти, зная вероятности других событий, связанных с со­бытием С. Для этого прежде всего используются прави­ла сложения и умножения вероятностей, о которых мы расскажем в этом и следующем параграфах.

История о находчивом майоре.

В городе Дрюкове объявлен розыск четверых особо опасных преступников, ограбивших Дрюковоуниверсал-банк. Чтобы предотвратить утечку информации при передаче в Центр сообщений о ходе розыска, майор Зимин придумал такой способ. Он зашифровал первыми буква­ми алфавита следующие события:

Событие Р — обнаружен преступник Рыков;

Событие У — обнаружен преступник Угрюмов;

Событие Ф — обнаружен преступник Фомкин;

Событие Т — обнаружен преступник Трошкин.

С помощью этих обозначений майор Зимин мог передать любую информацию. Например, сообщение Р + У означало бы, что обнаружен по крайней мере один из двоих преступников, Рыков или Угрюмов; сообщение УФ — обнаружены Угрюмов и Фомкин; сообщение — Трошкин не обнаружен.

Вскоре в Центр пришли следующие сообщения: 1) У + Ф; 2) УТ; 3) . Там их без труда расшифровали. Согласно первой шифровке, обнаружен кто-то из двоих — Угрюмов или Фомкин, причем не исключено, что и оба. Второе сообщение означало, что обнаружены и Угрюмов и Трошкин. Из третьего сообщения следовало, что Фом­кин и Рыков не обнаружены. Таким образом, на первом этапе розыска обнаружили двоих преступников. Дальнейшие шифровки были такими:

4) УТ(Ф + Р); 5) УТФ; 6) УТФР.

Первая из них означала, что обнаружены Угрюмов, Трошкин и по крайней мере один из двух других пре­ступников. Вторая шифровка: обнаружены все, кроме Рыкова. Третья: обнаружены все четверо.

УПРАЖНЕНИЯ

6. Расшифруйте донесения группы захвата:

1) Т+У; 2) Т; 3) У+Ф; 4) У; 5) Р+Ф; 6) У(Ф + Т).

7. Зашифруйте следующие донесения: 1) взят только

Один из четырех; 2) взят по крайней мере один; 3) взяли не менее двух; 4) взяли только двоих; 5) взяли только троих; 6) взяли всех четверых.

Вы уже поняли, конечно, что майор Зимин изучал теорию вероятностей. Для шифровки донесений он ис­пользовал следующие понятия этой теории.

Сумма событий.

Если в некоторой ситуации произошло по крайней мере одно из двух событий А или В, то говорят, что произо­шло событие А + В. Так вводится понятие Суммы собы­тий. Например, событие Т + Р + Ф означает, что взят по меньшей мере один из трех (Трошкин, Рыков, Фомкин).

Произведение событий.

Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие Произведения событий. Например, событие РТФ состоит в том, что взяты трое — Рыков, Трошкин и Фомкин.

Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие . Так вводится понятие Противопо­ложного события. Например, событие означает, что не взяты оба преступника, Трошкин и Фомкин, а событие , противоположное событию Т+Ф, состоит в том, что не произошло по крайней мере одно из событий — Т или Ф.

УПРАЖНЕНИЯ

8. Из колоды карт вынимается одна. Событие А — Вынута карта красной масти; событие В — вынут туз. Что означают события: ,, А + В, АВ?

9. Игральная кость бросается один раз. Событие А — Выпало четное число очков; событие В — выпало число очков, кратное трем. Что означает событие А + ? За­пишите событие, состоящее в выпадении шести очков.

10. В сессию студент должен был сдать два экзамена и один зачет. Событие А состоит в том, что студент сдал экзамен по английскому языку; событие В — он сдал экзамен по философии; событие С — получил зачет по физкультуре.

Запишите события:

А) студент не получил зачета;

Б) сдал 2 экзамена;

В) сдал по крайней мере один экзамен;

Г) получил зачет, но не сдал ни одного экзамена;

Д) сдал только один из экзаменов и не получил зачета;

Е) не сдал ничего;

Ж) сдал все.

Свойства вероятности

Теорема 1. Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (1)

Доказательство. Пусть число всех исходов равно П. В число исходов, благоприятных событию А + В, входят все исходы, благоприятные событию А и все исходы, благоприятные событию В. Так как события А и B не­совместны, то среди перечисленных исходов нет одина­ковых. Поэтому Т(А + В) = Т(А) + т(В). Следовательно,

P(A+B)==P(A)+P(B)

Что и требовалось доказать.

Задача. В урне 8 белых, 5 синих и 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что вынут синий шар, а событие В — вынут красный шар. Тогда Р(А) = , Р(В) = . Событие А + В означает, что вынут шар синего или красного цвета. Так как события А И В несовместны, то вероятность события А + В вычис­ляется по формуле (1)

Р(А+В) = .

Теорема 2. Справедлива формула

P()=1 – P(A). (2)

Доказательство. Так как события А и несовмест­ны, то по формуле (1)

Р(А+) = Р(А) + Р().

С другой стороны, событие А + является достоверным, поэтому по свойству II из §2 имеем Р(А + ) = 1. Следовательно, Р(А) + Р() = 1, отсюда Р() = 1 – Р(А), Что и требовалось доказать.

Задача. Один лотерейный билет выигрывает с веро­ятностью 0,0001. Какова вероятность того, что владелец одного билета ничего не выиграет?

Решение. Пусть событие А означает выигрыш. Тогда означает, что билет не выигрывает. По формуле (2)

Р() = 1 – 0,0001 = 0,9999.

Замечание. Формулу (1) можно распространить на любое число событий. Методом математической индук­ции доказывается, что если события А1, A2, ..., An. пoпарно несовместны, то вероятность их суммы вычисля­ется по формуле

Р(А1 + А2 + ... + Аn) = P(A1) + P(A2) + ...+ Р(Ап). (3)

УПРАЖНЕНИЕ

11. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 выбирают две и со­ставляют двузначное число. Событие А — обе цифры числа четные; событие В — обе цифры нечетные. Что означают события , , А + В, , АВ? Найдите вероятности всех перечисленных событий.

< Предыдущая		Следующая >