4.1. Понятие вероятности. Случайные события

Трудно найти такую сферу человеческой деятельности, в которой не использовались бы вероятностно-ста­тистические методы. Они применяются практически во всех областях науки, в экономике, военном деле, техни­ке, медицине, юридической практике, криминалистике и т. д. Эти методы базируются на понятиях Случайного события и Вероятности. Решающий вклад в теорию ве­роятностей внесли такие замечательные математики как Пьер Ферма, Якоб Бернулли, Симон Лаплас, Пафнутий Львович Чебышев, Андрей Николаевич Колмогоров и многие другие.

Окружающий нас мир пронизан явлениями, которые носят случайный характер. Мы встречаемся с ними, на­блюдая состояние атмосферы, физические эксперимен­ты, производственные процессы, общественно-политиче­ские ситуации и т. п. Результаты многих наблюдений нельзя предсказать однозначно. Предположим, в 10 ч в Твери пошел дождь. Утверждение «в 11 ч дождь кон­чится» может оказаться либо верным, либо нет. То же самое можно сказать о прогнозе на следующий день уровня радиации, курса доллара, популярности мэра, числа разбойных нападений, количества дорожно-транспортных происшествий. Допустим, что, исходя из ка­ких-то соображений, мы прогнозируем на завтра 12 дорожно-транспортных происшествий на улицах нашего города. Это событие может либо произойти, либо нет. Дело в том, что ситуация на дорогах зависит от большо­го количества факторов и учесть влияние каждого из них заранее невозможно (погода, видимость, направле­ние и сила ветра, самочувствие водителей и пешеходов, количество и расположение транспорта на трассе и т. д.) Поэтому не исключено, что число происшествий ока­жется не 12, а, например, 10, 8, или 15. Каждый такой факт является Случайным событием.

Все наблюдаемые при определенных условиях собы­тия можно разделить на три вида: Достоверные, невоз­можные и Случайные. Всякий раз, когда указанные усло­вия выполняются, говорят, что происходит Испытание.

Достоверным называют такое событие, которое про­исходит при каждом испытании.

Невозможным называют событие, которое не может произойти ни при одном испытании.

Случайным называют событие, которое в данном ис­пытании может произойти, а может и не произойти.

Пример 1. В урне имеются шары только синего и красного цвета. Наугад вынимают один шар. Событие, состоящее в том, что вынут либо синий, либо красный шар — достоверное. Событие, состоящее в том, что вы­нут шар белого цвета — невозможное. Событие «вынут шар красного цвета» (или событие «вынут шар синего цвета») является случайным.

Пример 2. Стрелок производит один выстрел по мишени, разделенной на 10 зон. Выстрел — это испы­тание; попадание в определенную зону, например, в «десятку» — событие; событие, состоящее в том, что мишень либо поражена, либо не поражена — достовер­ное событие; поражение одним выстрелом сразу трех зон — невозможное событие.

Случайные события будем обозначать буквами А, В, С, ... , достоверное событие — символом W,* невозмож­ное событие — символом Æ.

* Греческая строчная буква омега.

Случайные события А1, A2, ... , An, называются Несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 3. При одном бросании монеты выпадает либо орел (событие А), либо решка (событие В). События А и В несовместны.

В примере 2 обозначим через А1, А2, ... , А10 собы­тия, состоящие, соответственно, в поражении первой, второй, ... , десятой зоны. Так как при попадании в границу двух зон судья всегда делает выбор в пользу какой-нибудь одной из них, то можно считать что собы­тия А1, А2, ... , А10 несовместны.

События А1, A2, ... , An Называются Единственно возможными, если в результате испытания происходит какое-либо одно и только одно из этих событий.

Пример 4. Игральную кость бросают один раз. События А1, A2, А3, А4, А5, A6, Состоят, соответственно, в выпадении чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти события являются единственно возможными.

В примере 2 события А1–А10 не будут единственно возможными, т. к. стрелок может вообще не попасть в мишень.

Каждое испытание можно описать с помощью событий, которые являются несовместными и единственно возможными. Эти события называются Исходами испы­тания или Элементарными событиями. Совокупность всех исходов испытания называют также Пространством элементарных событий.

Примеры

5. Из колоды (36 карт) наугад вынимают одну. Это испытание имеет 36 исходов, каждый из которых соот­ветствует выбору определенной карты.

6. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Участник приобретает один билет. Здесь испытанием является выбор одного билета. Таким образом, мы имеем 1000 исходов.

7. Карточка спортлото содержит 49 наименований. Играющий зачеркивает 6 из них. Здесь исходом являет­ся набор из шести клеток карточки. Так как порядок зачеркивания не играет никакой роли, то число всевоз­можных исходов будет равно числу сочетаний из 49 по 6 – .

8. При демографических исследованиях выбирают случайным образом супружеские пары и отмечают их возраст. Исходом каждого такого испытания является Упорядоченная пара чисел — возраст мужа и возраст жены.

9. В программе экзамена 30 вопросов, студент выбирает 2 из них. Исходом здесь является любая пара вопро­сов из данных тридцати. Количество исходов будет .

< Предыдущая		Следующая >