25. Группы

Три свойства операции сложения:

- ассоциативность: (а + в) + с = а + ( в + с ),

- наличие нейтрального элемента: а + 0 = а, ( 3) (3)

- существование противоположных элементов: а + ( - а) = 0.

Справедливы для любого кольца и любого векторного пространства.

Пример: Запишем по порядку числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Перепутаем их каким - либо образом: 2, 3, 5, 1, 6, 4.

Запишем в виде таблицы:

Эта таблица задает некоторую функцию, если считать, что верхний ряд - значения Х, а нижний – значения У. Такая функция называется подстановкой или перестановкой из шести элементов и действует так: Всего подстановок 6! = 720.

Результат последовательного действия двух перестановок тоже будет перестановкой:

Т. е. Это композиция, или сложная функция S, называется произведением и .

Любые три перестановки можно перемножить так: либо Либо Результат один и тот же, поэтому можно записать:

( 4)

Умножение тождественной перестановки

На любую другую перестановку дает следующее:

( 5)

Для каждой перестановки S можно найти обратную ей которая действует так: если S переводит в то переводит в . Например:

Отсюда

( 6)

Если в равенствах (4) - (6) заменить символ на + и вместо Написать то эти равенства совпадут с равенствами (3).

Все сказанное относится и к подстановкам из любого числа элементов.

Группой называется множество, на котором задана операция, свойства которой описываются аксиомами ( 3).

Множество всех подстановок из N элементов образует группу относительно операции композиции (умножения). В этой группе N! элементов, она называется симметричной группой и обозначается .

Множество Z ( Q, R) является группой относительно сложения.

< Предыдущая		Следующая >