13. Решение типовых задач (вариант контрольной)

Вариант № 0

0.1. Найти частные производные функции

Решение.

Ответ:

0.2. Найти экстремумы функции

Решение.

1) Определяем критические точки. Для этого находим частные производные и решаем систему

Решение этой системы: , значит – критическая (стационарная) точка.

2) Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Находим частные производные 2-го порядка:

Вычисляем

Так как и то – точка максимума.

3) Экстремум функции – это значение функции в точке экстремума . Вычисляем это значение:

Ответ:

0.3. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж области.

Решение. Линия Y = – X2 – это парабола, а Y = – 5 – горизонтальная прямая. Найдем точки их пересечения. Для этого решим систему уравнений:

Изобразим область D В координатной плоскости.

Расставим пределы интегрирования

Вычислим двукратный интеграл

Интеграл вычисляется в предположении, что X – Константа.

Ответ:

0.4. Вычислить ,

Где – дуга параболы от точки A(0;0) до точки B(1;1).

Решение. В данном случае АВ задана в виде: , где , тогда . Получим

.

Ответ:

0.5. Найти интервал и область сходимости степенного ряда: .

Решение. Фиксируем X и составляем ряд из модулей. .

Применяем признак Даламбера для этого ряда:

при ; |x + 1| < 9: –9 < x + 1 < 9; –10 < x < 8.

Значит, (–10, 8) – интервал абсолютной сходимости исходного ряда.

Исследуем поведение данного ряда на концах интервала сходимости.

При Х = –10: – этот ряд знакочере­дующийся. Применяем признак Лейбница:

1) так как ;

2) .

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Точка х = –10 входит в область сходимости степенного ряда , в этой точке ряд сходится условно.

При Х = 8: – этот ряд ведет себя так же, как гармонический ряд , который расходится. Действительно, по пре­дельному признаку . Значит, ряд расходится. Точка х = 8 не входит в область сходимости степенного ряда .

Областью сходимости ряда является интервал [–10, 8).

Ответ: интервал сходимости ряда (–10, 8),

Область сходимости ряда [–10, 8).

0.6. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,01:

.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. При решении используем разложение:

,

В котором вместо X возьмем X5. Тогда

.

Интеграл примет вид:

Для достижения указанной точности обычно оставляют первые несколько слагаемых ряда так, чтобы последнее из них было меньше этой точности. При вычислении оставляют на несколько знаков после запятой больше, чем требуется. В окончательном ответе округляют до указанной точности.

Ответ: .

0.7. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке

.

Решение. Здесь .

Вычислим коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для данной функции запишется в виде

Ответ:

0.8. Вероятность изготовления детали высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 9 наудачу взятых деталей будет от 5 до 7 де­талей высшего качества. Вычисления производить с точностью до 0,001.

Решение.

Эта задача подчиняется схеме повторений испытаний, в которой событие А состоит в выборе детали высшего качества. Здесь N=9; P=0,8; K1=5; K2=7. Требуется найти вероятность того, что событие А произойдет от K1 до K2 раз в этих N испытаниях – . Так как N < 30, то применим формулу Бернулли:

Ответ: вероятность равна 0,544.

0.9. Приводится статистический ряд случайной величины Х, имеющей нормальное распределение. Требуется:

1) найти точечные оценки параметров А и σ нормального распределения;

2) интервал , содержащий все наблюдаемые значения , разделить на 5 равных частей и построить гистограмму относительных частот. В ка­честве и выбрать такие целые числа, чтобы интервал имел наи­меньшую длину;

3) записать функцию плотности распределения и построить её на од­ном чертеже с гистограммой.

Все вычисления и построения в данной задаче допускается делать с ис­пользованием приложения MS Excel.

Результаты необходимо округлить до 0,001.

	ХI	1,3	1,9	2,5	3,1	3,7	4,3	4,9	5,5	6,1	6,7
Ni	2	10	17	21	26	25	24	18	14	3

Решение. 1) Объём выборки .

Параметры нормального распределения А и равны математическому ожи­данию и среднему квадратическому отклонению соответственно:

Оценками для них являются выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение. Найдем их:

,

,

, .

2) Выберем =1, =7. тогда . Составим Группированный статистический ряд:

Интервалы
Ni	12	38	51	42	17

Для построения гистограммы составим вспомогательную таблицу

Интервалы
	0,062	0.198	0.266	0.219	0.088

Строим гистограмму:

3) Запишем функцию плотности распределения

.

Построим её на одном чертеже с гистограммой. Для этого вычислим зна­чения функции в серединах интервалов, отметим эти точки на графике и соединим их плавной линией.

Ответ: 1) , 3) .

< Предыдущая