logo

Решение контрольных по математике!!!

05. Числовые ряды

Числовым рядом называется выражение вида , где U1, U2, …, Un, … – числа.

называется N– ой Частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел , то ряд Называется Сходящимся, а S – его суммой. В противном случае ряд Называется Расходящимся.

Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд Сходится, то . Необходимое условие не является достаточным!

Достаточное условие расходимости ряда. Если , то ряд Расходится.

Геометрическая прогрессия – это ряд

Он сходится при (его сумма равна в этом случае ) и расходится при .

Ряд называется Рядом Дирихле. Он сходится при P >1 и расходится при P ≤ 1.

Ряд называется Знакоположительным, если Un > 0 для всех NÎN.

Признак сравнения знакоположительных рядов. Пусть и – два знакоположительных ряда и для всех NÎN. Тогда

1) если ряд Сходится, то ряд Сходится;

2) если ряд Расходится, то ряд расходится.

Предельный признак сравнения знакоположительных рядов.

Пусть и – знакоположительные ряды и существует конечный предел . Тогда ряды , сходятся или расходятся одновременно.

Признак Даламбера. Пусть– знакоположительный ряд и существует конечный предел . Тогда

1) если L < 1, то ряд сходится;

2) если L >1. то ряд расходится.

Признак Коши. Пусть– знакоположительный ряд и существует конечный предел . Тогда

1) если L < 1, то ряд сходится:

2) если L >1. то ряд расходится.

Интегральный признак сравнения знакоположительных рядов. Пусть функция F – непрерывна, положительна и убывает на интервале (1, ∞) и . Тогда

1) если интеграл сходится, то ряд Тоже сходится;

2) если интеграл расходится, то ряд Тоже расходится.

Знакопеременные ряды

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин этого ряда. Если ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин этого ряда, расходится, то ряд Называется условно сходящимся. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид:

.

Признак сходимости Лейбница.

Если в знакочередующемся ряде и , то ряд сходится, причем его сумма S удовлетворяет условию |S| ≤ |U1|.

 
Яндекс.Метрика
Наверх