22. Дифференциальные уравнения высших порядков

Решение дифференциального уравнения становится более сложным по мере того, как в левую часть его начинают входить производные более высоких порядков. В этом пункте мы ограничимся только основными определениями, относящимися к уравнениям любого порядка.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок производной, входяЩЕй в уравнение.

Обычно имеют дело с уравнениями, разрешенными относительно старшей производной. Тогда уравнение П-го порядка запишется в виде

. (*)

Общее рЕШение такого уравнения зависит от П произвольных постоянных: . Чтобы выделить частное решение, отвечающее конкретным условиям задачи, нужно задать НАчальные условия; они имеют следующий вид:

Т. е. при задаются значения самой функции и ее первых (N - 1) производных. Дифференцируя (П - 1) раз общее решение и подставляя начальные условия, мы получаем систему N уравнений с П неизвестными

Вопрос о существовании и единственности частного решения, так же как в случаях П=1 и N=2, решается следующей теоремой:

Теорема существования и единственности решения. Если правая часть уравнения (*)— функция f — непрерывна вместе со своими частными производными по аргументам ПРи ЗНачениях , то уравнение имеет решение , и притом единственное, принимающее вместе со своими первыми производными при заданные значения:

Укажем один тип уравнений П-го порядка, которые легко решаются при любом П, а именно:

Общее решение ЭТого уравнения мы получим, произведя последовательно N интегрирований; при каждом таком интегрировании будет появляться новая произвольная постоянная.

Пример. Решим уравнение

Имеем:

Изменяя обозначения произвольных постоянных, общее решение можно записать в виде

< Предыдущая		Следующая >