20. Частные случаи уравнений второго порядка

Возьмем дифференциальное уравнение второго порядка

.

И рассмотрим частные случаи, легко приводимые к уравнениям первого порядка.

I. Правая часть уравнения не содержит Y и У':

. (*)

Так как У"=(У')', то

Интегрируя еще раз, будем иметь:

Где С1 и С2 — произвольные постоянные. Пример такого уравнения мы уже рассматривали в П. 2.1.

II. Правая часть уравнения не содержит У:

. (**)

Положим , тогда и уравнение (**) обращается в уравнение первого порядка относительно Z:

.

Найдя решение этого уравнения , мы искомое решение получим интегрированием равенства , т. е.

Пример. Решим уравнение

.

Полагая и , приходим к уравнению первого порядка , которое оказывается линейным. Решив его, найдем Тогда и

III. Правая часть уравнения не содержит Х:

. (***)

Положим У' = р и будем считать Р функцией от У. Дифференцируя это равенство, получим . Чтобы исключить Х, произведем следующее преобразование:

Таким образом,

Подставив в уравнение, будем иметь:

Т. е. уравнение первого порядка относительно Р как функции от У. Решив его, найдем . ТогДА искомое решение получим из уравнения с разделяющимися переменными:

Т. е. и

Пример. Решим уравнение

Полагая У' = р и получим:

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приведя его к виду и интегрируя, получим и Определив теперь У из уравнения придем к искомому решению или .

В обоих последних случаях мы заменяли производную У' новой вспомогательной функцией и прихоДИли, таким образом, к уравнению первого порядка. В том случае, когда уравнение имеет вид , Т. Е. когда оно одновременно относится и к типу II и типу III, следует выбрать тот ход решения, который окажется более удобным.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!