12. Непротиворечивость евклидовой планиметрии

«Точкой» будем называть любую упорядоченную пару вещественных чисел (Х, у), при этом числа Х, у будем называть координатами «точки». «Прямой» назовем множество всех «точек», координаты которых удовлетворяют линейному уравнению

(3)

. Это уравнение будем называть уравнением «прямой». «Прямые» Х= 0, У = 0 будем называть осями координат, а «точку» (0,0) — началом координат. Если «точка» является одной из точек «прямой», будем говорить, что «точка» принадлежит «прямой». Не определяя пока других основных понятий, покажем, что аксиомы I.1 - I.3 выполнены. Чтобы не загромождать текст, кавычки в словах «точка» и «прямая» опустим.

Аксиома I.1 выполнена, поскольку уравнение (3) имеет бесконечно много решений (Х, у). Справедливость аксиомы I.2 следует из того, что три точки (0, 0), (1, 0) и (0, 1) не могут являться точками никакой прямой. Действительно, если бы они являлись точками некоторой прямой (3), то была бы выполнена система

Откуда получили бы А = B = с = 0, что противоречит условию . Покажем, что выполнена и аксиома I.3. Пусть и — данные различные точки. Рассмотрим прямую (3), положив , , Уравнение (3) можно при этом записать в виде Тогда

И

Следовательно, точки и принадлежат прямой Ах + Bу + С = 0. Покажем, что эта прямая единственна. Предположим, что есть еще прямая содержащая точки и . Тогда система двух линейных уравнений

и

Имеет два различных решения и , откуда следует, что уравнения линейно зависимы, т. Е. отличаются множителем. Но это означает, что прямые совпадают.

Осталось убедиться, что в строящейся нами модели ВыПолняется аксиома параллельных Евклида. Пусть даны точка и прямая L, уравнение которой

Так как , то Рассмотрим прямую L', Заданную уравнением , проходящую через точку A не имеющую с прямой L общих точек. Ясно, что коэффициенты должны удовлетворять двум условиям:

Во-первых,

(4)

И, во-вторых, система

(5)

Должна быть несовместной. Условие несовместности означает, что и , где M — некоторое число, отличное от нуля. Из (4) . Следовательно, , т. е. прямая L' единственна.

Таким образом, построена модель планиметрии Евклида. Все ее понятия реализованы в терминах арифметики вещественных чисел. Поэтому построенная модель называется Арифметической. Ясно, что эта модель системы аксиом планиметрии Евклида решает вопрос о непротиворечивости планиметрии Евклида. Действительно, если бы в планиметрии Евклида существовали два взаимно исключающих друг друга утверждения, то, пересказанные в терминах модели, они явились бы противоречащими друг другу утверждениями арифметики веЩЕственных чисел.

Таким образом, как и в случае геометрии Лобачевского, мы доказали Условную нЕПротиворечивость планиметрии Евклида. Но при этом с помощью арифметической модели вопрос о непротиворечивости планиметрии Евклида (а стало быть, и планиметрии Лобачевского) выведен за рамки геометрии.

< Предыдущая		Следующая >