24. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле

Ввиду того, что интеграл Есть ПерВообразная от , можно написать:

С другой стороны, в силу формулы Ньютона — Лейбница имеем:

Этими двумя соотношениями выявляется точный характер связи между определенным и неопределенным интегралами.

Формула Ньютона — Лейбница показывает, что для вычисления определенного интеграла мы получили теперь хороший способ — неопределенное интегрирование. Нам уже известно, что правила интегрирования суммы и произведения постоянной на функцию имеют место и в определенном интеграле. Теперь мы рассмотрим правила интегрирования по частям и замены переменной.

Оказывается, что и эти правила неопределенного интегрирования могут быть непосредственно применены к определенному интегралу.

I. Правило интегрирования по частям:

(A)

Где U и V — Функции НЕзависимой переменной.

Доказательство. Имеем:

Отсюда непосредственно и следует доказываемая формула.

Вместо того чтобы до конца довести неопределенное ИнтегрироВание по частям, а затем выполнить двойную подстановку, можно сразу воспользоваться формулой (А).

Предварительное полное отыскание неопределенного интеграла требует более громоздких выкладок.

II. Правило замены переменной (подстановки).

Если в интервале функции , и непрерывны и то

(Б)

Доказательство. Преобразуем неопределенный интеграл при помощи подстановки

Где — первообразная от функции

Рассматривая U как функцию от Х, определяемую зависимостью , получим:

С другой стороны,

И мы приходим к равенству (Б).

ИЗ формулы (Б) видно, что подынтегральное выражение Преобразуется так же, как и в случае неопределенного интеграла. Что же КАсается пределов интегрирования, то заданные пределы X1 и Х2 связаны с новыми И1 и U2 так же, как заданная переменная Х с Новой переменной И.

Итак, вместо того чтобы, выполнив при помощи замены переменНОй неопределенное интегрирование, вернуться к первоначальной Переменной, а затем вычислить двойную подстановку в данных преДЕлах, можно сразу взять двойную подстановку в новых Пределах. Результат — значение определенного интеграла — получится ТОт же, а выкладок потребуется меньше.

Новые пределы интегрирования И1 и U2 являются корнями уравнений и относительно неизвестной И.

Часто замена переменной в определенном интеграле производится по формуле , а по формуле , выражающей НовУю переменную через заданную. Тогда новые пределы И1 и и2 сразу определяются по формулам

При этом теорема о замене переменной заведомо будет Справедлива, если функция в интервале монотонна и Имеет ПроизВодную, отличную от нуля; тогда и обратная функция будет обладать теми же свойствами.

Пример. Выведем формулу для интеграла, взятого по симметричному интервалу

В случаях, когда подынтегральная функция четна и нечетна. Представим этот интеграл так:

ЗамЕНив переменную интегрирования в первом интеграле в правой части по формуле , получим:

Таким образом,

Подынтегральная функция в правой части равна нулю, если — функция нечетная, и равна , еСли — функция четная. Следовательно,

Эти формулы очень полезны. Можно, например, сразу сказать, не производя вычислений, что

Рекомендуем читателю выяснить геометрический смысл выведенных формул.

< Предыдущая		Следующая >