38. Дифференциальные операции второго порядка. Лапласово (гармоническое) векторное поле
Дифференциальные операции второго порядка – это повторно примененные операции grad, div и rot к скалярным и векторным полям, полученным в результате применения этих же операций к скалярным 
и векторным 
полям. Возможны лишь следующие повторные операции: 
; 
,
где 
- лапласиан; 
; 
; 
.
Операции первого и второго порядков удобно записывать (и вычислять, доказывать) с помощью специального символического оператора 
(читается “набла”):
. (2.9)
Для дифференциальных операций первого порядка имеем
; 
. (2.10)
Операции второго порядка:
;
;
;
;
.
При применении оператора “набла” руководствуются следующим правилом: при применении оператора к произведениям скалярных 
, 
) и векторных 
, 
полей: 
можно поступать так: применить оператор к каждому из сомножителей отдельно, считая другой постоянным (их обозначаем 
), и результаты сложить; затем каждоеслагаемое преобразовать по правилам векторной алгебра так, чтобы оператор стоял на предпоследнем месте перед переменным множителем.
Пример. Показать, что 
.
Решение. В символической форме записи 
. Учитывая сначала дифференциальный характер , мы должны написать 
. Рассматривая выражение 
мы можем постоянный множитель 
вынести за знак “набла” и, как скаляр, за знак скалярного
произведения, что дает 
(на последнем шаге мы опустили индекс “C”).
В выражении 
оператор действует только на скалярную функцию U; поэтому мы можем написать, что 
. В результате получаем формулу 
или 
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти потенциалы следующих плоских и трехмерных полей:
91. 
; 92. 
;
93. 
; 94. 
;
95. 
; 96. 
; 97. 
;
98. 
; 99. 
; 100. 
;
101. 
;
102. 
;
103.
.
104. Доказать, что поле вихрей соленоидально: 
.
105. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек, равен нулю.
В задачах 106 – 109 проверить соленоидальность заданных полей:
106. 
; 107. 
;
108. 
; 109. 
.
110. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора поля через поперечное сечение любой векторной трубки (определенный в одном и том же направлении) сохраняет постоянное значение.
111. Показать, что поле вектора 
соленоидально во всякой области, не содержащей начало координат O(0,0,0).
112. Найти условие соленоидальности поля 
.
113. Показать, что в соленоидальном поле поток вектора не зависит от вида поверхности (S), натянутой на данный контур (L), а зависит только от самого контура.
114.Показать, что векторное поле 
- соленоидальное и безвихревое.
Используя правило применения оператора к произведениям скалярных и векторных полей, доказать справедливость следующих формул:
115. 
; 116. 
;
117.
; 118.
;
119. 
;
120. 
;
121. 
.
122. Найти 
. В каком случае 
?
123. Показать, что скалярное поле 
, 
, является гармоническим 
.
В задачах 124 – 131 выяснить, какие поля – гармонические, какие – нет:
124. 
125. 
126. 
127. 
128. 
129.
130. 
131. 
132. Найти все гармонические поля, зависящие только от X.
133. Найти общий вид однородного гармонического многочлена второй степени от X и Y.
134. Найти все решения уравнения Пуассона 
, зависящие только от X.
Ответы к задачам главы 15
1. 
2.
3. 
4.
. 5.
6. 
7.
. 8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
. 14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20.0. 21. 
22. 0,25. 23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35.0.
36. 
37. а) 2/3; б) 0,7; в) 0,7; г)1; д) 1. 38. 
39. 
40. 
41. 
42. 
43. 
44. 
45. 
46. –14. 47. 
48.
49. 
50. 
51. 4/3. 52. 
53. 
. 54. 
55. 
56. 0. 57. 0. 58. 
59. 0. 60. 1. 61. 
62. 
63. 
64. 0. 65. 
66. 
67.
68. 
69. 
70. 
71.-1. 72.
73. 
74. 
81. 
82. 83.
84. 
85. 86. 
87. 
88. 0.
89. 
90.
91. 
92. 
93. 
94.
95. 
96. 
97. 
98. R. 99. LnR. 100. 
. 101. 
102. 
103. 
112. 
C=const. 122.
124. Нет. 125. Нет. 126. Да. 127. Только при A+C=0.
128. Только, если A+C=B+D=0. 129. Да. 130. Только при 
131. Только если 
.
132. 
133. 
A и B – любые.
134. 
| < Предыдущая |
|---|
