34. Дивергенция векторного поля

Интегральные характеристики – поток и линейный интеграл – характеризуют векторное поле “в целом”. Количественную характеристику поля в каждой точке дают, вводимые ниже, дифференциальные характеристики. Введем понятие дивергенции.

Окружим произвольную точку M поверхностью (S) произвольной формы (например, сферой достаточно малого радиуса). Пусть (V) – объем, заключенный внутри поверхности (S).

Определение. Конечный предел отношения потока поля через поверхность (S) к объему, заключенному внутри нее при стягивании поверхности к точке M и стремлении объема V к нулю называется дивергенцией векторного поля в точке M:

(1.10¢)

Замечание. Определение (1.10) есть инвариантное (не зависящее от системы координат) определение дивергенции.

Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля, “исходящего” из точки M, то есть мощность источника (при ), или стока (при ), находящегося в точке M.

В декартовой системе координат дивергенция вычисляется по формуле

. (1.10)

Свойства дивергенции. Пусть И - векторные поля, - скалярная функция. Тогда:

1) ; 2) . (1.11)

С учетом формулы (1.10) перепишем формулу Гаусса-Остроградского (1.6)

(1.12)

- поток векторного поля через замкнутую поверхность (S) равен тройному интегралу по объему (V), заключенному внутри этой поверхности от дивергенции поля.

Пример 1. Вычислить .

Решение. .

Пример 2. Вычислить , где U(M) – скалярная функция, - векторная функция.

Решение. По формуле (1.10) находим: .

Пример 3. Используя теорему Гаусса-Остроградского (1.12), найти поток векторного поля через всю поверхность (S) тела (V):

в направлении внешней нормали.

Решение. Имеем . Поэтому =. Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение поверхности примет вид , =.

< Предыдущая		Следующая >