01. Функции нескольких переменных. Основные понятия и определения

1°. - множество всех упорядоченных пар чисел (X,Y) (троек чисел (X,Y,Z)). - множество всех упорядоченных наборов N Чисел .

2°. Функция F N переменных сопоставляет по определенному правилу каждому набору N чисел из Области определения единственное значение U из Области значений , что записывается в виде или В дальнейшем будем рассматривать функции двух (трех) переменных , .

3°. Если (X,Y) (или (X,Y,Z)) - декартовы координаты точки плоскости Oxy (или пространства Oxyz), то D – часть плоскости или вся плоскость (часть пространства или все пространство).

4°.E - окрестность точки - множество всех точек , не совпадающих с точкой , расстояние до которых от точки меньше e: . Так, e - окрестность точки - множество точек M(X,Y), удовлетворяющих условию - шар радиуса e без границы с выколотым центром .

5°. Назовем точку Внутренней точкой области, если она принадлежит этой области вместе со всеми точками какой – нибудь своей окрестности. Любая окрестность Граничной точки области содержит точки, принадлежащие области, и точки, не принадлежащие области. Сами граничные точки могут принадлежать области, а могут не принадлежать.

6°. Область называется Замкнутой, если она содержит все свои граничные точки.

Пример 1. Найти и изобразить область определения функций:

а) ; б) .

Ñ а) функция определена, если X и Y удовлетворяют системе неравенств (которую последовательно решаем) Следовательно, область определения множество точек .Область определения изображена на рис. 9.1.

Б) функция определена, если X и Y Удовлетворяют системе неравенств

Рис. 9.1.

Область определения получается пересечением множеств: - множество точек “под” параболой , включая саму параболу; - внутренность круга радиуса 1 с центром в точке , - вся плоскость Oxy, исключая точку

. Итак, (рис. 9.2).

Рис. 9.2.

 

Задачи для самостоятельного решения

Найти области определения следующих функций:

1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. . 7. . 8.

Следующая >