7.6. Обобщённые функции

Рассмотрим ось и будем полагать, что в точке Находится масса равная 1. Вычислим линейную плотность некоторого отрезка, лежащего на оси . Линейная плотность выражается, как предел: , где – масса сегмента длины . Пусть линейная плотность обозначается , тогда если , если . Итак: . Функция описывает линейную плотность. Попробуем из плотности получить массу, тогда: . В точности, условие нормировки:

Но интегрируема ли эта функция? «Размажем» единичную массу по отрезку , тогда: При поточечный предел : . Поточечный предел функции по сегменту равен 1.

Другой подход: Пусть – произвольная непрерывная функция, заданная на всей числовой прямой. Докажем, что

Т. е. нужно доказать, что .

Док-во: ; – непрерывна в точке , ч. т.д.

Обозначение: . Тогда формула (1) принимает вид: .

В частности: , тем самым выполняется (1).

Определение: Обобщённая -функция (-функция Дирака) – это такая функция, что для любой непрерывной функции : .

Таким образом -функция ставит в соответствие любой непрерывной функции её значение . Если каждой функции из некоторого множества поставить в соответствие некоторое число, то говорят, что на данном множестве задан функционал. Введённая -функция представляет собой функционал, заданный на множестве непрерывных функций. Будем рассматривать функции , заданные на всей числовой прямой от до , обладающими следующими свойствами: 1) – бесконечно дифференцируемая функция, 2) – финитная функция, т. е. равна 0 вне некоторого интервала (для любой функции свой интервал).

Пусть – множество, на котором указанные функции не равны нулю. – замкнутые множества , т. е. все предельные точки, D – множество основных функций.

Определение: Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций назовём множеством основных функций и обозначим их как D.

Определение: Будем говорить, что последовательность основных функций сходится к функции из множества , если:

1.

2. , где – натуральное на .

Обозначение: при в D.

Множество D основных функций с введённой в нём сходимостью называется пространством основных функций, которое также обозначается буквой D.

Определение: Говорят, что на пространстве D задан функционал, если каждой функции поставлено в соответствие некоторое число .

Определение: Функционал называется линейным, если .

Определение: Функционал F, определённый на пространстве D основных функций, называется непрерывным, если для любой последовательности имеем: .

Определение: Обобщённой функцией называется всякий линейный непрерывный функционал, определённый на пространстве основных функций.

Определим сумму двух обобщённых функций и , как обобщённую функцию, действующую по формуле: , а произведение обобщённой функции на число , как обобщённую функцию действующую по формулу: . Нетрудно доказать, что и - линейные непрерывные функционалы, т. е. операции сложения и умножения на число не выводят за пределы множества непрерывных функций. Понятие сходимости в множестве обобщённых функций определим следующим образом.

Определение: Будем говорить, последовательность обобщённых функций сходится к обобщённой функции , если числовая последовательность при .

Линейное пространство обобщённых функций с введённой в нём сходимостью обозначается называется Пространством обобщённых функций. Введённое понятие сходимости называется «слабой сходимостью». Говорят также, что последовательность функционалов слабо сходится к функционалу .

< Предыдущая		Следующая >