26. Метод Ньютона(касательных). Сходимость метода Ньютона

Этот знаменитый метод - один из наиболее эффективных методов решения самых разных нелинейных задач. Выведем его расчетную формулу, исходя из простейших геометрических соображений. Соответствующая иллюстрация приведена на рисунке слева. Пусть
- заданное начальное условие.

В точке с координатами проведем касательную к графику функции и за новое приближение примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Далее поступают аналогично, за приближение берут абсциссу точки пересечения с осью касательной, проведенной к графику в точке и так далее. Уравнение касательной, проведенной к графику в точке , имеет вид . Если положить здесь , тогда абсцисса точки пересечения касательной с осью будет удовлетворять этому уравнению, то есть Отсюда

. (6.2.1)

Это и есть основная рабочая формула метода Ньютона или метода касательных, получившего свое второе название благодаря указанной геометрической интерпретации.

< Предыдущая		Следующая >