22. Метод простых итераций. Сходимость метода итераций

Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений технического характера. Большие системы уравнений, возникающие в приложениях, как правило, являются разреженными. При использовании метода Гаусса, например, большое число нулевых элементов превращаются в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. Использование итерационных методов не меняет матрицу коэффициентов, она остается разреженной.

Однако применение итерационных методов для качественного решения требует серьезного использования структуры системы уравнений, специальных знаний и опыта.

Пусть дана система - квадратная невырожденная матрица. Преобразуем ее к виду (5.5.1)

Где - квадратная матрица такой же размерности что и , - вектор - столбец. В развернутой форме записи система (5.5.1) имеет вид

(5.5.2)

Операция приведения системы к виду (5.5.2) не является очевидной и простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы. Самый простой способ приведения системы к виду (5.5.2) состоит в последовательном исключении из первого уравнения системы переменной , из второго уравне-
ния - переменной и так далее. Метод итерации в такой реализации называется методом Якоби. Система уравнений метода Якоби имеет вид

(5.5.3)

На главной диагонали матрицы системы (5.5.3) стоят нули, а остальные элементы, очевидно, выражаются по формулам

Практически метод работает следующим способом. Выбирается начальное приближение и подставляется в правую часть системы (5.5.1). Решая систему, находят первое приближение Это приближение опять подставляют в правую часть (5.5.1). Таким образом, получается Продолжая этот процесс далее, получим последовательность приближений, вычисляемых по формуле

(5.5.4)

В развернутой форме записи система (5.5.4) выглядит таким образом:

(5.5.5)

< Предыдущая		Следующая >