04. Функция двух переменных. Линии уровня

Механизм работы с функцией нескольких переменных несколько отличается от механизма работы с функцией одной переменной. Например, как вычислить производную функции, если переменных больше, чем 1. В этом случае вводится понятие частных производных. При их вычислении пользуются следующим правилом: при вычислении частной производной функции по одной из переменных остальные переменные считаются константами, а в остальном механизм вычисления производной сохраняется. Например, определим частные производные функции:

При вычислении производной по первой переменной считаем константой вторую и наоборот.

Понятие частной производной потребуется нам при вычислении предельной нормы замещения для производственной функции Кобба-Дугласа. Функция Кобба-Дугласа имеет вид

,

Где Y – объем выпускаемой продукции, x1 – трудозатраты, x2 – капитальные вложения, а A и a - некоторые постоянные коэффициенты производства, причем 0<a<1.

При исследовании функции Кобба-Дугласа нам необходимо будет, задавшись несколькими значениями выпуска продукции построить семейство линий уровня функции. Рассмотрим это на примере.

Пусть необходимо построить линии уровня функции Кобба-Дугласа для следующих значений выпуска продукции: Y1=10, Y2=20, Y3=30, A=5, a=0,4.

Так как уровень выпуска – величина постоянная – выразим x2 через x1 и построим таблицу соответствия.

Зададимся значениями x1 от 10 до 100 с шагом 10 и определим значения x2 для каждого выпуска.

	Y=10	Y=20	Y=30
X1	X2	X2	X2
10	0,68399	2,171534	4,268272
20	0,430887	1,367981	2,688843
30	0,328828	1,043965	2,051971
40	0,271442	0,861774	1,693865
50	0,233921	0,742654	1,459728
60	0,207149	0,657657	1,292661
70	0,186918	0,593428	1,166416
80	0,170998	0,542884	1,067068
90	0,158084	0,501886	0,986485
100	0,147361	0,467843	0,919571

Теперь построим семейство линий уровня

По данному графику можно делать выводы о значениях и характере изменения капитальных вложений при изменении трудозатрат на данном уровне выпуска.

< Предыдущая		Следующая >