3.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Пусть линейный оператор . Ненулевой вектор называется Собственным вектором линейного оператора , если

. (10)

Число называется Собственным значением линейного оператора. Совокупность всех собственных значений называется Спектром линейного оператора . Спектр простой, если все собственные значения линейного оператора кратности 1.

Рассмотрим в произвольный базис , в котором . Пусть в этом базисе линейному оператору соответствует матрица , тогда равенство (10) в матричной форме примет вид

(11)

Перейдём к системе из уравнений:

Или

(12)

Однородная СЛАУ (12) в матричной форме примет вид:

(13)

Она имеет ненулевые решения только в том случае, если её определитель равен нулю, т. е. если

(14)

Представим равенство (14) в виде:

. (15)

Уравнение (15) называется Характеристическим  уравнением линейного оператора . Таким образом, собственные значения линейного оператора являются корнями его характеристического уравнения.

Уравнение (15) – алгебраическое уравнение -й степени относительно , значит, оно имеет ровно корней, действительных или комплексных, с учётом их кратности. Ясно, что в алгебраическом уравнении с вещественными коэффициентами всякий комплексный корень имеет комплексно-сопряжённый.

При нахождении собственных векторов соответствующие им векторы-столбцы определяют из системы (13) подстановкой в неё последовательно всех найденных собственных значений . При этом отметим, что в вещественном линейном пространстве комплексные корни характеристического уравнения нельзя рассматривать как собственные значения, так как умножение на комплексный скаляр в вещественном пространстве является запрещённой операцией.

Перечислим без доказательств некоторые свойства собственных значений и собственных векторов Линейных операторов.

Свойство 1. Характеристическое уравнение и спектр линейного оператора инвариантны относительно выбора базиса, т. е. подобные матрицы имеют одинаковый спектр.

Свойство 2. Собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Свойство 3. Линейный оператор имеет собственное значение только в том случае, если он вырожденный, т. е. , где – матрица линейного оператора .

Свойство 4. Самосопряжённый линейный оператор имеет только действительные собственные значения;

Свойство 5. Собственные векторы самосопряжённого линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Свойство 6. Для произвольного самосопряжённого линейного оператора существует ортогональный базис, составленный из собственных векторов.

< Предыдущая		Следующая >