1.3. Блочные матрицы

Матрица, имеющая более чем одну строку или столбец, прямыми, проведенными между строками и (или) столбцами, может быть разбита на блоки – подматрицы. Полученная таким образом матрица называется Блочной.

Например, матрица может быть разбита на блоки следующим образом:

Обозначим , В этих обозначениях матрица примет вид:

Любую матрицу, имеющую более чем одну строку или столбец, можно представить, и при этом не единственным образом, в блочной форме. Переход к такому виду матрицы иногда бывает полезным, так как сводит вычисления с матрицами больших размеров к вычислениям с матрицами меньших размеров.

Блочные матрицы одинакового размера и одинакового разбиения на блоки называются Конформными.

Операции над конформными матрицами целесообразно проводить над блоками матриц по правилам, приведенным в п.1.1.

Действия над блочными матрицами

1. Сложение.

Пусть и – конформные матрицы:

Тогда их сумма: .

2. Умножение на число

3. Умножение блочных матриц.

Выполнение условия согласованности в операции умножения для блочных матриц предполагает, что, если:

То .

Предположим, что все блоки и таковы, что число столбцов блока совпадает с числом строк блока . В частности, например, все блоки матриц и квадратные одного порядка. Тогда произведением матриц и называется матрица

Где

Пример 1. Найти , если , .

Решение. Введём обозначения: где , а

Поскольку правило согласованности умножения матриц выполняется, то

Ответ: .

Пример 2. Найти , если , .

Решение. Представим матрицы и в следующем виде:

Обозначим , тогда

Таким образом, .

Ответ:

Замечание. Безусловно, выполнить умножение матриц и в Примерах 1 и 2 можно и не представляя их в блочной форме. Примеры приведены для иллюстрации применения к умножению матриц метода разбиения их на блоки.

Блочная матрица где – квадратные матрицы, в общем случае различных порядков, а остальные блоки – нулевые матрицы, называется Квазидиагональной.