5.2.5. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

Называется Алгебраической линией второго порядка.

Для квадратичной формы можно задать матрицу

Для того чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

1) поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);

2) параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.

Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (4) примет вид:

(в предположении, что L1,2 не равны 0).

Зададим последующий параллельный перенос формулами:

.

Получим в новой координатной системе уравнение

Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков L1, L2 и :

1) если собственные числа матрицы А L1 и L2 и Одного знака, уравнение (5) представляет собой каноническое уравнение эллипса:

(случаи и , имеющего знак, противоположный знаку L1, L2, будут рассмотрены позднее).

2) если L1 и L2 имеют разные знаки, уравнение (5) является каноническим уравнением гиперболы:

В зависимости от знака .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (4) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:

Являющимся каноническим уравнением параболы.

Пример 1.

Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка

3X² + 10Xy +3Y² - 2X – 14Y – 13 = 0.

Матрица квадратичной формы 3X² + 10Xy + 3Y² имеет вид:

Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение:

Для координат собственного вектора Е1, соответствующего L1, получим с учетом нормировки:

Аналогично найдем Е2:

Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов:

Тогда

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат:

Заметим, что коэффициентами при X² и Y² являются L1 и L2.

Преобразуем полученное уравнение:

Зададим параллельный перенос формулами:

Получим уравнение:

А после деления на 8:

Каноническое уравнение гиперболы.

Яндекс.Метрика