5.1.6. Примеры решения задач по теме «Линейные операторы и квадратичные формы»

Задача 1.

Пусть Е1, Е2, Е3, Е4 – базис в векторном пространстве. Разложить вектор

Х = е1 + 2Е2 – Е3 + 3Е4 по новому базису И1, И2, И3, И4, если И1 = Е1,

И2 = Е1 + Е2, И3 = Е1 + Е2 + Е3, И4 = Е1 + Е2 + Е3 + Е4.

Указание

Выпишите матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.

Решение

Выпишем матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе:

.

Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.

Координаты вектора Х в старом базисе: Х = (1; 2; -1; 3). Пусть в новом базисе он имеет координаты: X = (X, Y, Z, T). Тогда, используя матрицу Т, найдем связь между старыми и новыми координатами:

.

Следовательно, в новом базисе Х = (-1; 3; -4; 3).

Ответ: Х = (-1; 3; -4; 3).

Задача 2.

Найти матрицу А’ оператора А:

В базисе И1 = Е1 + Е3, И2 = 2Е1 + Е2, И3 = Е1 + Е2 + Е3.

Указание

Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому.

Решение

Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому. Составим матрицу Т :

.

.

.

Ответ: .

Задача 3.

Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

.

Указание

Для определения собственных чисел составьте характеристическое уравнение:

Координаты собственных векторов RI = (Xi, Yi) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке LI.

Решение

Составим характеристическое уравнение:

Найдем собственные векторы:

1) для L = -2 координаты собственного вектора R1 = (X1, Y1) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке L = -2:

Если Х1 = 1, то У1 = -1, и R1= (1; -1). Остальные собственные векторы коллинеарны вектору (1; -1), и общий вид собственного вектора, соответствующего L = -2: R1 = С1(1; -1), где С1 – произвольная постоянная.

2) для L = 6 координаты собственного вектора R2 (X2; Y2) удовлетворяют системе:

Пусть Х2 = 3, тогда У2 = 5, и R2 = (3; 5). Соответственно общий вид второго собственного вектора: R2 = С2(3; 5).

Ответ: собственные числа L1 = -2, L2 = 6; собственные векторы R1 = С1(1; -1),

R2 = С2(3; 5).

Задача 4.

В пространстве 3-мерных векторов задан оператор

AX = (Xi)I,

Где I – базисный вектор декартовой системы координат.

Выяснить геометрический смысл этого оператора.

Указание

Множитель Xi – скалярное произведение, то есть число, поэтому вектор (Xi)I коллинеарен оси Ох.

Решение

Рис. 1

Оператор А переводит произвольно направленный вектор Х в вектор

KI, коллинеарный оси Ох, поскольку первый множитель – скалярное произведение, то есть число. Из определения скалярного произведения следует, что

AX = (Xi)I = (|X|·|I|·cosφ) I = (|X|cosφ)I.

Следовательно, А – оператор проектирования на ось Ох.

Ответ:

Оператор осуществляет проектирование вектора Х на ось Ох;

Задача 5.

Привести матрицу А линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис, если

Указание

Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы линейного оператора, задайте базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид, и составьте матрицу перехода к новому базису.

Решение

Характеристическое уравнение:

Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным числам.

При L = 1 для вектора R1 = (X1, Y1, Z1) получаем:

Подставим в строки определителя L = 2 и найдем связь между координатами собственного вектора R2 = (X2, Y2, Z2):

Та же зависимость получается для координат третьего собственного вектора R3 = (X3, Y3, Z3). Выберем значения двух координат каждого из этих векторов так, чтобы R2 и R3 были линейно независимы.

Пусть Х2 = 1, У2 = 0, тогда Z2 = -3, и R2 = (1; 0; -3).

Для R3 выберем Х3 = 0, У3 = 1, тогда Z3 = 3, R3 = (0; 1; 3).

Получен базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид.

Составим матрицу перехода к новому базису:

Найдем матрицу, обратную к Т:

.

Тогда в базисе из собственных векторов матрица оператора

Ответ: в базисе (1; 1; 1), (1; 0; -3), (0; 1; 3) матрица оператора

Задача 6.

Линейный оператор А задан в некотором базисе матрицей

Найти собственные числа и собственные векторы оператора А-1 – оператора, обратного к А.

Указание

Собственные числа обратного оператора являются обратными к собственным числам данного оператора, а их собственные векторы одинаковы.

Решение

Характеристическое уравнение для А:

Собственные векторы: для L = 3 R1 = C(1; 1), для L = 1 R2 = C(1; -1).

Найдем матрицу обратного оператора:

.

Соответствующее характеристическое уравнение:

Собственные векторы: для L = 1 R1 = C(1; -1), для L = 1/3 R1 = C(1; 1).

Ответ: L1 = 1, L2 = 1/3, R1 = C(1; -1), R2 = C(1; 1).

Задача 7.

Составить матрицу квадратичной формы 3Х2 – 10Ху + 8У2 и найти ее собственные числа.

Указание

Матрица квадратичной формы А11Х2 + 2А12Ху + А22У2 является

Симметрической (Aij = Aji) и имеет вид:

Решение

В нашей задаче А11 = 3, А12 = -5, А22 = 8. Следовательно,

Составим характеристическое уравнение, корнями которого являются собственные числа:

Ответ: матрица квадратичной формы ,

Собственные числа

Задача 8.

Найти базис, в котором квадратичная форма 2Х2 + 4Ху + 5У2 будет иметь канонический вид, и указать этот вид.

Указание

Канонический вид квадратичной формы:

1) во-первых, не содержит произведения Ху;

2) во-вторых, коэффициенты при Х2 и У2 равны собственным числам матрицы квадратичной формы.

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, состоит из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Решение

Матрица квадратичной формы

Характеристическое уравнение

Собственные числа: L1 = 1, L2 = 6.

Собственные векторы:

Для L1 = 1 координаты вектора R1 = {X1, Y1} определяются уравнением

Х1 + 2У1 = 0, Х1 = -2У1. Если У1 = 1, то Х1 = -2, и R1 = C{-2; 1}. Найдем значение С из условия, что вектор R1 нормирован, то есть его длина равна 1:

Аналогично для L2 = 6: R2 = {X2, Y2}, -4Х2 + 2У2 = 0, R2 = C{1; 2}.

Итак, базис имеет вид:

И в этом базисе квадратичная форма примет вид: L1Х2 + L2У2, то есть Х2 + 6У2.

Ответ: в базисе квадратичная форма имеет канонический вид: Х2 + 6У2.

Задача 9.

Указать преобразование координат, приводящее квадратичную форму

8Х2 – 12Ху + 17У2 к каноническому виду.

Указание

Матрица преобразования координат имеет вид:

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы.

Решение

Найдем базис из нормированных собственных векторов.

Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты новых базисных векторов R1, R2 в старом базисе:

Строки этой матрицы определяют коэффициенты уравнений, выражающих старые координаты через новые:

Где Х, У – координаты в старом базисе, а Х’, Y’ – в новом.

Таким образом, найдено искомое преобразование.

Ответ: .

Задача 10.

Привести к каноническому виду квадратичную форму 5Х2 – 12Ху.

Указание

Матрица преобразования координат имеет вид:

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы. В новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Решение

Матрица перехода к базису из собственных векторов:

Преобразование координат:

Подставим найденные выражения в квадратичную форму:

Как и следовало ожидать, в новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Ответ: 9Х2 – 4У2.

Задача 11.

Найти преобразование координат, приводящее квадратичную форму

X2 + Y2 + 5Z2 – 6Xy + 2Xz – 2Yz к каноническому виду.

Указание

Матрица квадратичной формы A11X2 + A22Y2 + A33Z2 + 2A12Xy + 2A13Xz + 2A23Yz имеет вид:

Матрица преобразования координат:

Где R1 = (X1, Y1, Z1), R2 = (X2, Y2, Z2) и R3 = (X3, Y3, Z3) – нормированные собственные векторы.

Решение.

Матрица квадратичной формы A11X2 + A22Y2 + A33Z2 + 2A12Xy + 2A13Xz + 2A23Yz имеет вид:

Для заданной квадратичной формы

Составим и решим характеристическое уравнение:

(Мы не останавливаемся подробно на способах решения уравнений высших порядков. В данном случае, например, один из корней был найден перебором делителей свободного члена, а затем левая часть разложена на множители.)

Найдем нормированные собственные векторы:

Матрица перехода к новому базису:

Задает преобразование координат:

Заметим, что в новых координатах квадратичная форма примет вид:

Где коэффициенты являются собственными числами, стоящими в той же последовательности, что и соответствующие собственные векторы в матрице Т.

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >