5.1.3. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Вектор Х называется Собственным вектором матрицы А, если найдется такое число L, что выполняется равенство: АХ = LХ, то есть результатом применения к Х линейного оператора, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число L. Само число L называется Собственным числом матрицы А.

Подставив в формулы (3) XJ = LXj, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

Отсюда

.

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

Получим уравнение для определения собственных чисел L, называемое Характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

Поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-LЕ. Многочлен относительно L | A - LE| называется Характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Доказательство.

(см. (11.4)), но Следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и |A-LE| не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного оператора является Симметрической (т. е. АIj=Aji), то все корни характеристического уравнения (11.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов Х1, х2, х3, соответствующих собственным значениям λ1, λ2, λ3 матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения оператора А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Пример 1.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы

Составим характеристическое уравнение:

(1- L)(5 - L)(1 - L) + 6 - 9(5 - L) - (1 - L) - (1 - L) = 0,

L³ - 7L² + 36 = 0, L1 = -2, L2 = 3, L3 = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению L. Из (5) следует, что если Х(1)={X1,X2,X3} – собственный вектор, соответствующий L1=-2, то

Совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде Х(1)=(A,0,-A), где А – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |X(1)|=1,

Подставив в систему (5) L2=3, получим систему для определения координат второго собственного вектора - X(2)=(Y1,Y2,Y3):

Откуда Х(2)=(B,-B,B) или, при условии |X(2)|=1,

Для L3 = 6 найдем собственный вектор X(3)=(Z1, Z2, Z3):

X(3)={C,2C,C} или в нормированном варианте

Можно заметить, что Х(1)Х(2) = AbAb = 0, X(1)X(3) = AcAc = 0, X(2)X(3) = Bc - 2Bc + Bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.

Яндекс.Метрика