4.2.8. Прямая в пространстве

Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями

A1X+B1Y+C1Z+D1=0 и A2X+B2Y+C2Z+D2=0,

Где коэффициенты A1,B1,C1 и A2,B2,C2 не пропорциональны:

(5)

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

Составим уравнения прямой, проходящей через точку М0(X0,Y0,Z0) параллельно вектору A={L,M,N}.

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее Направляющим вектором.

Для любой точки М(X,Y,Z), лежащей на данной прямой, вектор

М0М = (X - X0,Y - Y0,Z - Z0) коллинеарен направляющему вектору А. Поэтому имеют место равенства:

(6)

Называемые Каноническими уравнениями прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки: М1(х1, у1, Z1) и M2(X2, Y2, Z2), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М1М2 = (X2 – X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1), и уравнения (6) принимают вид:

(7)

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (6) за некоторый параметр T, можно получить так называемые Параметрические уравнения прямой:

(8)

Для того, чтобы перейти от уравнений (5) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [N1N2] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений (5), выбрав их так, чтобы определитель из их коэффици-ентов не равнялся нулю.

Пример 5.

Составим канонические уравнения прямой

Найдем [N1N2]. N1 = (2,1,-3), N2 = (1,-5,4). Тогда [N1N2] = (-11,-11,-11). Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор (1,1,1).

Будем искать точку на прямой с координатой z0=0. Для координат Х0 и У0 получим систему уравнений

Откуда Х0=2, У0=1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

< Предыдущая		Следующая >