4.2.7. Отклонение и расстояние от точки до плоскости

Обозначим через D расстояние от точки М до плоскости Р. Отклонением точки М от плоскости Р называется число D, если М и начало координат О лежат по разные стороны от плоскости Р, и число –D, если М и О лежат по одну сторону от Р. Если О принадлежит Р и П = (cosA, cosB, cosG) – нормальный вектор плоскости Р, то отклонение положим равным D, когда М лежит по ту сторону от Р, куда направлен вектор П, и –D – в противном случае.

Рис. 5

Пусть Q – проекция точки М = {X, Y, Z} на ось, определяемую вектором П. Тогда отклонение точки М от плоскости Р равно

Поэтому

Отсюда

В силу того, что D = |D |, имеем

Пример 4. Даны координаты вершин пирамиды A = {0,1,1}, B = {2,1,-1}, C = {3,-1,0} и D = {3,1,2}. Найти длину высоты H, проведенной из вершины А на основание BCD.

Длина высоты равна расстоянию от точки А до плоскости, проходящей через точки В, С и D. Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти точки:

Или

Раскрывая скобки и сокращая на -2, приходим к уравнению

Приведем это уравнение к нормальному виду:

Следовательно,

Упражнение 2. Найти расстояния от точек M1 = {-1,3,2} и M2 = {2,1,-3} до плоскости

И выяснить, лежат ли эти точки по одну сторону от плоскости или по разные стороны.

Решение.

Приведем уравнение плоскости к нормальному виду:

И найдем отклонения точек М1 и М2 от плоскости:

Поскольку отклонения имеют одинаковые знаки, точки лежат по одну сторону от плоскости. Расстояния от точек до плоскости равны

Ответ: точки лежат по одну сторону от плоскости; расстояние от точки М1 до плоскости равно 2/3, а от точки М2 – 5/3.

Яндекс.Метрика