4.2.1. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения прямой в пространстве. Общее уравнение плоскости

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Говорят, что соотношение (или уравнение)

Задает множество точек Р на плоскости, если для любой точки М Р ее координаты удовлетворяют равенству (1), и наоборот, если для всех троек (Х,У,Z), удовлетворяющих (1), точка М = {X, Y,Z} принадлежит множеству P. При этом говорят, что уравнение (1) является уравнением множества P.

Пусть в пространстве дана точка М0 = {X0, Y0, Z0}. Найдем уравнение плоскости P, проходящей через эту точку перпендикулярно вектору П = (А, В, С). Пусть М = {X, Y, Z} – произвольная точка на плоскости Р. Тогда

Рис. 1

Тем самым уравнение плоскости Р задается в виде

Где D = -Ax0 – By0 – Cz0.

Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Пример 1. Найдем уравнение плоскости с нормальным вектором П = (-2,2,3), проходящей через точку M0 = {1,2,-1}. Имеем

Или

Теорема 10.1. Всякая плоскость в пространстве может быть задана уравнением

И любое уравнение (3) задает в пространстве некоторую плоскость. При этом вектор П = (А, В, С) является нормальным вектором этой плоскости.

Доказательство.

Пусть дана произвольная плоскость. Выберем на ней точку М0 = {X0, Y0, Z0}. Пусть П = (А, В, С) – некоторый нормальный вектор этой плоскости. Тогда, как было показано выше, уравнение этой плоскости запишется в виде (3).

Покажем, что всякое уравнение (3) определяет некоторую плоскость в пространстве. Найдем точку М0 = {X0, Y0, Z0}, координаты которой удовлетворяют уравнению

Если А 0, то, например, можно положить

Если В 0, то

А если С 0, то

Теперь построим плоскость с нормальным вектором П = (А, В, С), проходящую через точку М0. Ее уравнение будет иметь вид

Раскрывая скобки, приходим к уравнению (3).

Уравнение (3) называется Общим уравнением плоскости в пространстве.

Яндекс.Метрика