4.1.5. Каноническое уравнение прямой на плоскости

Всякий ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется Направляющим вектором прямой. Найдем уравнение прямой с направляющим вектором А = (L, M), проходящей через точку М0 = {X0, Y0}. Пусть М = {X, Y} – произвольная точка на искомой прямой L. Тогда

Условие коллинеарности векторов и А записывается как пропорциональность их координат:

Рис. 9

Уравнение прямой, записанное в виде (5), называется Каноническим уравнением прямой на плоскости.

Найдем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М0 = {X0, Y0} и М1 = {X1, Y1}. Для этого достаточно взять в качестве направляющего вектора вектор

Тогда искомое уравнение будет иметь вид

Пример 3. Даны координаты вершин треугольника А = {1,3}, B = {1,4} и C = {5,3}. Найти уравнение прямой, на которой лежит медиана этого треугольника, проведенная из вершины В на сторону АС.

Найдем сначала координаты точки М, являющейся серединой стороны АС. Имеем

Далее строим прямую, проходящую через точки В и М, используя уравнение (9.6):

Тем самым искомая прямая задается уравнением

Упражнение 2. Даны координаты вершин треугольника А = {1,1}, B = {1,2} и C = {5,1}. Найти уравнение прямой, на которой лежит высота этого треугольника, проведенная из вершины В на сторону АС.

Решение.

Направляющим вектором прямой АС можно считать вектор

Тогда направляющим вектором высоты будет ортогональный ему вектор, например, А = (0,1). Следовательно, уравнение высоты как прямой, проходящей через точку В с направляющим вектором А можно задать в виде (9.5):

Ответ: Х – 1 = 0.

Яндекс.Метрика