3.1.5. Проекция вектора на ось

Прямую с заданным на ней направлением будем называть Осью. Пусть дан вектор и ось L. Обозначим через С и D проекции точек А и В на ось L (см. рис. 7.10). Тогда Проекцией вектора На ось L прL называется величина , если направление оси L совпадает с направлением вектора , и – в противном случае.

Рис. 10

Если обозначить через α угол между вектором и осью L, то

(4)

ПрL = || cosα.

Из определения координат вектора вытекает, что если A = (X, Y, Z), то

(5)

Х = прОхА,

У = прОуА

Z = прOzА.

Одним из основных свойств проекции вектора на ось является следующее свойство:

ПрL (A + b) = прL A + прL B.

(6)

Доказательство.

Введем декартову систему координат так, чтобы ось Ох совпала с осью L. Тогда, если А = (X1, Y1, Z1) и B = (X2, Y2, Z2), то A + B = (X1 + X2, Y1 + Y2, Z1 + Z2). Из равенств (5) имеем

Х1 = прL A, X2 = прL B, X1 + X2 = прL (A + B).

Отсюда вытекает справедливость равенства (6).

Через прС А будем обозначать проекцию вектора А на ось, задаваемую вектором С.

Пусть дан произвольный вектор А ≠ 0. Его Ортом называется вектор единичной длины, коллинеарный А и имеющий с ним одинаковое направление. Из определения умножения вектора на число получаем, что вектор

Является ортом вектора А.

Пусть А = (X, Y, Z) ≠ 0. Обозначим через α, β и γ углы, образованные осями Ох, Оу и Oz с вектором А. Тогда из (4) и (5) вытекает, что

X = |A| cos α,

Y = |A| cos β,

Z = |A| cos γ,

Т. е.

A = (|A| cos α, |A| cos β, |A| cos γ) = |A| (cos α, cos β, cos γ).

Следовательно,

Еа = (cos α, cos β, cos γ). (7)

Величины cos α, cos β, cos γ называются Направляющими косинусами Вектора А.

Яндекс.Метрика