1.3.1. Определитель произведения матриц. Обратная матрица. Полураспавшиеся матрицы

Квадратная матрица называется Полураспавшейся, Если ее можно представить в виде Где В и С – квадратные матрицы и хотя бы одна Из матриц Р, Q – нулевая.

Пример 1. Матрицы

Являются полураспавшимися.

Предложение 3.1. Если матрица

- Полураспавшаяся, То |A| = |B| |C|.

Доказательство.

Применим индукцию. Для матриц второго порядка утверждение очевидно. Пусть утверждение имеет место для матриц прядка П – 1. Докажем его справедливость для матриц порядка П. Будем считать, что Р = 0 (случай Q = 0 будет вытекать из рассматриваемого с помощью транспонирования матрицы А). Пусть А имеет вид

Разложим определитель матрицы А по первой строке:

Матрица, полученная вычеркиванием 1-й строки и J-го столбца, является полураспавшейся порядка П – 1. Поэтому по предположению индукции

M1J = N1J|C|,

Где N1J – минор элемента A1J матрицы В. Тем самым

< Предыдущая		Следующая >