1.1.5. Примеры решения задач по теме «Операции над матрицами»

Задача 1.

Найти матрицу 5А – 2В, если

Указание

Используя операции умножения матрицы на число и сложения матриц, найдите сначала матрицы 5А и -2В, а затем их сумму.

Решение

Используем определения линейных операций над матрицами:

Ответ: 5А – 2В .

Задача 2.

Найти Х, У и Т, если

Указание

Используя операции умножения матрицы на число и сложения матриц, найдите элементы матрицы А + тВ, а затем приравняйте их соответствующим элементам матрицы

Решение

Если

Ответ: Х = 5, У = 3, Т = 3.

Задача 3.

Найти АВ и ВА, если

Указание

Проверьте возможность перемножения матриц, определив их размерность, а затем используйте определение произведения матриц.

Решение

Проверим возможность перемножения матриц, определив их размерность.

A[], B[]. Следовательно, N = L = 4, M = K = 2, поэтому матрицы АВ и ВА существуют, причем АВ[], BA[].

Для вычисления элементов матрицы С = АВ элементы строк матрицы А умножаются на соответствующие элементы столбцов матрицы В:

С11 = 2 · 2 + (-2)(-1) + 1 · 1 + 0 · 2 = 9

(сумма произведений элементов первой строки А на элементы первого столбца В; первый индекс вычисляемого элемента задает номер строки А, второй индекс – номер столбца В);

С12 = 2 · 2 + (-2) · 0 + 1 · 1 + 0 · 4 = 5;

с21 = -3 · 3 + 1 · (-1) + (-1) · 1 + 1 · 2 = -9;

с22 = -3 · 2 + 1 · 0 + (-1_ · 1 + 1 · 4 = -3.

Следовательно,

При вычислении элементов матрицы D = BA элементы строк В умножаются на элементы столбцов А:

D11 = 3 · 2 + 2 · (-3) = 0; D12 = 3 · (-2) + 2 · 1 = -4; D13 = 3 · 1 + 2 · (-1) = 1;

D14 = 3 · 0 + 2 · 1 = 2; D21 = -1 · 2 + 0 · (-3) = -2; D22 = -1 · (-2) + 0 · 1 = 2;

D23 = -1 · 1 + 0 · (-1) = -1; D24 = -1 · 0 + 0 · 1 = 0; D31 = 1 · 2 + 1 · (-3) = -1;

D32 = 1 · (-2) + 1 · 1 = -1; D33 = 1 · 1 + 1 · (-1) = 0; D34 = 1 · 0 + 1 · 1 = 1;

D41 = 2 · 2 + 4 · (-3) = -8; D42 = 2 · (-2) + 4 · 1 = 0; D43 = 2 · 1 + 4 · (-1) = -2;

D44 = 2 · 0 + 4 · 1 = 4.

Таким образом,

Ответ:

Задача 4.

Выяснить, можно ли умножить друг на друга матрицы

Если произведение существует, вычислить его.

Указание

Проверьте возможность перемножения матриц, определив их размерность, а затем (в случае, если произведение АВ или ВА существует) найдите его, используя определение произведения матриц.

Решение

Сравним размерности матриц А и В: A[], B[]. Следовательно, поэтому произведение АВ[] существует, а произведение ВА – нет.

Найдем элементы АВ:

(Ab)11 = 0 · 5 + 3 · 7 = 21; (Ab)12 = 0 · 6 + 3 · 8 = 24; (Ab)21 = 4 · 5 – 2 · 7 = 6;

(Ab)22 = 4 · 6 – 2 · 8 = 8; (Ab)31 = 1 · 5 – 1 · 7 = -2; (Ab)32 = 1 · 6 – 1 · 8 = -2.

Ответ: ВА не существует.

Задача 5.

Вычислить матричный многочлен А2 – 3А, где

Указание

Найдите произведение АА и матрицу -3А, а затем сложите полученные матрицы.

Решение

Поскольку А2 = А · А, умножим матрицу А на себя по правилу умножения матриц. А – квадратная матрица 2-го порядка, поэтому А2 – тоже квадратная матрица той же размерности.

Найдем элементы матрицы С = А2:

С11 = -2·(-2) + 1 · 0 = -4;

С12 = -2·1 + 1 · 3 = 1;

С21 = 0·(-2) + 3 · 0 = 0;

С22 = 0·1 + 3 · 3 = 9.

Итак,

Теперь вычислим элементы матрицы D = -3A. Для этого все элементы матрицы А умножим на -3:

Следовательно,

Ответ:

Задача 6.

Найти матрицу Х из уравнения Х2 = А, где

Указание

Из определения операции умножения матриц следует, что Х – квадратная матрица 2-го порядка.

Пусть

Тогда, приравнивая элементы произведения Х· Х соответствующим элементам А, получим систему уравнений для определения элементов матрицы Х.

Решение

Из определения операции умножения матриц следует, что Х – квадратная матрица 2-го порядка.

Пусть

Тогда, приравнивая элементы произведения Х· Х соответствующим элементам А, получим систему уравнений

Разделив левую и правую части второго уравнения на соответствующие части третьего, получим, что откуда B = -C. Подставим это выражение для B в систему: