25. Закон больших чисел

Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений, случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются.

Для доказательства закона больших чисел нам потребуется

Лемма (неравенство Чебышева). Если существует M(X2), то для произвольного T > 0

В частности, если существует M(X), то

Доказательство. Пусть X – дискретная случайная величина.

Где – значения случайной величины X.

Если X –непрерывная случайная величина с плотностью распределения F(X), то

Поделив эти неравенства на T2, получим первое утверждение леммы.

Если первое неравенство леммы применить к случайной величине X – MX, то получится второе неравенство. §

Теорема 2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Пусть - последовательность взаимно-независимых одинаково распределенных случайных величин. Если M = M(Xk) и существуют, то для любого e > 0 при

Иначе говоря, вероятность того, что среднее случайных величин X1, X2,…., Xn будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное e, cтремится к 1.

Доказательство. Т. к. X1, X2,…, Xn – взаимно-независимы,

Применим неравенство Чебышева к среднему

При правая часть стремится к 0, что и доказывает теорему. §

Замечание. C помощью неравенства Чебышева также легко доказать, что если задана бесконечная последовательность случайных величин
X1, X2,…, Xn,…(Xi и Xj независимы для любых I и J), то для любого e > 0 при

(теорема Маркова) .

Пример 4. Петербургская игра.

Игрок платит взнос А рублей за участие в одной партии, состоящей из M подбрасываний монеты. Если первый раз герб выпадет при R-ом подбрасывании, R = 1, 2,…, M, игрок получает за партию 2R рублей. Если M раз выпадает решка, игрок ничего не получает. При каком взносе А игру можно считать «неблагоприятной» для игорного заведения?

Пусть Xk – выигрыш в K-ой партии, K=1, 2,… .

Cредний выигрыш в K-ой партии и дисперсия выигрыша в K-ой партии конечна.

Выигрыш от участия в N партиях составит , а взнос за N партий – N*M рублей.

Согласно теореме 2,

т. е.

То есть почти всегда прибыль организаторов игры при взносе А=M мало отличается от нуля (в ту и другую сторону), если число сыгранных партий N велико.

Этот результат не зависит от того, постоянно число подбрасываний M в каждой партии или может меняться по желанию игроков. Согласно замечанию к теореме 2, при возрастании N суммарный выигрыш в N партиях стремится по вероятности к суммарному взносу за N партий, если взнос за K-ую партию равен числу подбрасываний монеты.¨

Таким образом, закон больших чисел позволяет в большинстве случаев расценивать математическое ожидание случайной величины, как среднее наблюдаемых значений случайной величины при большом числе реализаций.

Практический подход к вероятности случайного события обуславливает следствие из закона больших чисел

Теорема 3. Теорема Бернулли.

Частота наступления события А в серии из N независимых одинаковых испытаний (K/N) сходится по вероятности к вероятности события А в каждом испытании (Р) при

Доказательство. Пусть Xi – число наступлений события А в I-том испытании.

Тогда число наступлений события А в N опытах

И частота наступления события А

Согласно теореме 2,

Замечание. Если вероятности наступления события А в серии из N испытаний меняются от опыта к опыту и равняются Pi, I = 1, 2,..., N, то при частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей Pi . Это сразу следует из замечания к теореме 2.

Пример 5. ПОявление пары (7,7) среди 100 пар случайных цифр должно подчиняться биномиальному распределению с N=100 и P=0,01. Еcли рассмотреть 100 групп по 100 пар, то Nk – число групп, в которых комбинация (7,7) встречается ровно K раз. Полученные частоты Nk/100 хорошо согласуются с теоретическими вероятностями, хотя число рассматриваемых групп 100 не является очень большим.

P(X = K)

0,366032

0,369730

0,184865

0,060999

0,014942

0,002898

0,000463

0,000063

0,000007

0,000001

Изложение закона больших чисел завершает предлагаемый курс лекций по теории вероятностей и вместе с тем непосредственно подводит к изучению новой дисциплины – математической статистики. Различные формы закона больших чисел являются одним из основных инструментов, используемых в этой прикладной математической науке.

< Предыдущая