16. Числовые характеристики системы случайных величин

Моментом порядка (K,S) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Для дискретных случайных величин

если ряд сходится абсолютно.

Для непрерывных случайных величин , где

- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.

Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).¨

Центральным моментом порядка (K, S) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. ¨

Момент порядка (1,1) называется Ковариацией случайных величин X и Y.

Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле

Доказательство:

§

Утверждение 2. Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна

.

Доказательство.

§

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Пример 5. Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.

Z 0 1 MX= 1/2, DX=1/4, MY=3/4, DY=3/16, MZ=M(X*Y)=1/4;

Р 3/4 1/4 Cov(X, Y)=M(XY)-MX*MY= -1/8;

Corr(X, Y) = Cov (X, Y)/(sXSY) = –1/(). ¨

Дисперсия суммы случайных величин X иY =

= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16.

< Предыдущая		Следующая >