logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Лекции по математическому анализу. Попов (3 сем) §5.2. Свойства несобственного интеграла, зависящего от параметра

§5.2. Свойства несобственного интеграла, зависящего от параметра

Пусть – локально интегрируемы по X на . Пусть . и сходится равномерно на Q

– первое свойство несобственного интеграла, зависящего параметра, называющееся теоремой о линейности.

Теорема 2.2 (Замена переменных в несобственных интегралах, зависящих от параметра):

Пусть:

1.

2. – непрерывна по X на .

3., при .

Тогда следующий интеграл сходится равномерно на множестве Q, тогда и только тогда, когда сходится равномерно на множестве Q, причем справедливо равенство: .

Теорема 2.3: Пусть для каждого функции и по переменной X. Пусть Тогда сходится равномерно по тогда и только тогда, когда сходится равномерно по , причем верно: .

Теорема 2.4: Пусть функция локально интегрируема по X на сегменте . Пусть сходится поточечно на множестве Q сходится равномерно на Q , тогда выполняется условие .

Док-во: Обозначим при .

Заменим – остаток.

, ч. т.д.

Теорема 2.5 (Критерий Коши): Пусть функция локально интегрируема по . сходится равномерно на Q тогда и только тогда, когда что выполняется условие .

Док-во:

1. Пусть сходится равномерно на множестве Q к функции I. Фиксируем . Выберем . Фиксируем мы можем записать следующее:

. Необходимость выполнена.

2. Докажем достаточность. Пусть выполнено условие (1). Из этого следует, что сходится поточечно по критерию Коши. Фиксируем и выберем число , . Перейдем к пределу при . При этом . По теореме (2.4) сходится равномерно на Q, ч. т.д.

Теорема 2.6 (Признак Вейерштрасса): Пусть функция локально интегрируема по X. Пусть – локально интегрируема по X. Пусть:, при . Здесь . Пусть сходится интеграл интегралы – сходятся равномерно на Q.

Док-во: Без ограничения общности будем считать, что . Выберем Фиксируем . . Согласно критерию Коши интегралы и сходятся равномерно на Q, ч. т.д.

Теорема 2.7 (Признак Дирихле-Абеля): Пусть функции и локально интегрируемы по . Пусть выполняются два требования:

1. ;

2. функция монотонна по переменной X.

Тогда рассматриваемый интеграл сходится равномерно на Q.

Док-во: функция непрерывна по X; функция по X. Пусть: ( – рассматривается аналогично). Выберем .

Фиксируем . Рассмотрим случай, когда – не возрастает по X; .

Фиксируем .

. Пусть – не убывает по X, . Справедлива та же оценка. По условию теоремы, функция при монотонно равномерна по Y, следовательно, при . По критерию Коши интеграл сходится равномерно на множестве Q, ч. т.д.

Теорема 2.8 (Признак Дини): Пусть множество Пусть: сходится поточечно на Q к ; . Пусть либо либо , следовательно, сходится равномерно на множестве Q.

Док-во: Выберем . Обозначим: .

Согласно Теореме 1.2 . Так как – сходится поточечно, то , , – монотонная. Согласно признаку Дини для последовательности: . Покажем, что Перепишем это . Положим . Фиксируем , ч. т.д.

 
Яндекс.Метрика
Наверх