§4.4. Несобственные кратные интегралы

Несобственный интеграл возникает на неограниченной области, либо ограниченной области, но имеющей особые точки. Пусть G – ограниченная квадрируемая область на плоскости , и пусть в области G (за исключением, быть может, некоторой точки) определена функция , не ограниченная в окрестности точки . Заключим точкуВ произвольную квадрируемую область, где – диаметр области . Пусть функция интегрируема в области . Рассмотрим предел на области .

Этот предел называется несобственным интегралом от функции по области G (несобственный двойной интеграл). Для кратных несобственных интегралов, как правило, не вводят понятия интегралов первого и второго рода. Если указанный предел существует и не зависит от способа стягивания области точке, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а в противном случае – расходится. В ряде задач математической физики важную роль играет случай, когда– круг с радиусом И центром в точке. Если существует

, где – круг с радиусом И центром в точке, то этот предел называется главным значением несобственного интеграла по области G от функции и обозначается

V.P.

Пусть функция определена в неограниченной области G и пусть последовательность ограниченных квадрируемых областей монотонно «исчерпывает» область G, то есть любая область и

Пусть функция интегрируема в любой ограниченной области вида . Рассмотрим числовую последовательность , построенную следующим образом . Если и не зависит от выбора последовательности областей ,то говорят, что несобственный интеграл сходится, а в противном случае – расходится.

Замечание: Кратные несобственные интегралы обладают следующим удивительным свойством, а именно: для несобственных интегралов понятия сходимости и абсолютной сходимости являются эквивалентными.

Отмеченное свойство обусловлено произвольностью стягивания К точке, или соответственно, произвольностью выбора последовательности

Пример 1: . ТочкаЯвляется внутренней точкой области G, а точка М – произвольная точка области G, то есть точка является особой точкой. Выберем какую-либо окрестность точки .Обозначим эту окрестность. В области функция Ограничена , поэтому интеграл . Выберем область (произвольная), – ее диаметр. Поэтому В области Является положительной. Оказывается, если , то для сходимости несобственного интеграла по области G необходимо и достаточно, чтобы существовал. Воспользуемся этим и выберем в качествеКруг радиуса С центром в точке. Для вычисления Перейдем к полярной системе координат с центром в точке .