Несобственный интеграл возникает на неограниченной области, либо ограниченной области, но имеющей особые точки. Пусть G – ограниченная квадрируемая область на плоскости , и пусть в области G (за исключением, быть может, некоторой точки ) определена функция , не ограниченная в окрестности точки . Заключим точку В произвольную квадрируемую область , где – диаметр области . Пусть функция интегрируема в области . Рассмотрим предел на области .
.
Этот предел называется несобственным интегралом от функции по области G (несобственный двойной интеграл). Для кратных несобственных интегралов, как правило, не вводят понятия интегралов первого и второго рода. Если указанный предел существует и не зависит от способа стягивания области точке , то говорят, что несобственный интеграл сходится, а в противном случае – расходится. В ряде задач математической физики важную роль играет случай, когда – круг с радиусом И центром в точке . Если существует
, где – круг с радиусом И центром в точке , то этот предел называется главным значением несобственного интеграла по области G от функции и обозначается
V.P. 
Пусть функция определена в неограниченной области G и пусть последовательность ограниченных квадрируемых областей монотонно «исчерпывает» область G, то есть любая область и 
Пусть функция интегрируема в любой ограниченной области вида . Рассмотрим числовую последовательность , построенную следующим образом . Если  и не зависит от выбора последовательности областей ,то говорят, что несобственный интеграл сходится, а в противном случае – расходится.
Замечание: Кратные несобственные интегралы обладают следующим удивительным свойством, а именно: для несобственных интегралов понятия сходимости и абсолютной сходимости являются эквивалентными.
Отмеченное свойство обусловлено произвольностью стягивания К точке , или соответственно, произвольностью выбора последовательности 
Пример 1: . Точка Является внутренней точкой области G, а точка М – произвольная точка области G, то есть точка является особой точкой. Выберем какую-либо окрестность точки .Обозначим эту окрестность . В области функция Ограничена , поэтому интеграл . Выберем область (произвольная), – ее диаметр. Поэтому В области Является положительной. Оказывается, если , то для сходимости несобственного интеграла по области G необходимо и достаточно, чтобы существовал. Воспользуемся этим и выберем в качестве Круг радиуса С центром в точке . Для вычисления Перейдем к полярной системе координат с центром в точке .
Тогда получаем  
не существует при , при – существует.
Пример 3: ; .
Перейдем к полярным координатам и тогда получим
.
Используем для вычисления интеграл Пуассона. В качестве областей Будем выбирать квадраты
; .
|