logo

Решение контрольных по математике!!!

§4.3. Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция определена на полусегменте будем считать, что функция является не ограниченной на этом полусегменте. При этом на сегменте функция является ограниченной (при этом ). Точку А назовем особой точкой функции и рассмотрим интеграл: .

Понятно, что значение данного интеграла будет зависеть от И рассмотрим предел при значения этого интеграла.

В независимости от этого указанный предел будем называть несобственным интегралом II рода на полусегменте .

Если указанный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если особая точка c является внутренней точкой промежутка разбиения, то есть

.

Пример 1:

Теорема (Критерий Коши): Для того чтобы несобственный интеграл сходился на необходимо и достаточно, чтобы такое , что

Выполнялось условие: .

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что сходимость несобственного интеграла означает существование предела

Признак сравнения: Если функции и удовлетворяют условию при И существуют интегралы

То из сходимости (1) следует сходимость (2), а из расходимости (2) следует соответственно расходимость (1).

Следствие: Если, при И , то интегралы

Сходятся и расходятся одновременно.

Пример 2:

– сходится.

Главное значение несобственного интеграла

Пример:

Полученный предел очевидно не существует. Пусть, тогда указанный интеграл:

Пусть определена на И пусть функция интегрируема на любом сегменте.

Определение: Если существует предел , то он называется главным значением несобственного интеграла в смысле Коши и обозначается следующим образом:

(V.P. = Vabeur principal).

В этом случае говорят, что функция интегрируема на прямой . Очевидно, что если несобственный интеграл сходится, то его значение совпадает с его собственным значением. Но может так быть, что несобственный интеграл расходится, но при этом имеет конечное главное значение.

Рассмотрим несобственный интеграл второго рода , где C – внутренняя особая точка интервала .

Определение: Если существует предел «конструкции» следующего вида: ,

То он называется главным значением несобственного интеграла второго рода И обозначается V.P. .

Отметим, что исходный несобственный интеграл может быть расходящимся, то есть может не существовать предел .

Пример:

не существует.

Вычислим интеграл в смысле главного значения:

V.P. .

 
Яндекс.Метрика
Наверх