§4.3. Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция определена на полусегменте будем считать, что функция является не ограниченной на этом полусегменте. При этом на сегменте функция является ограниченной (при этом ). Точку А назовем особой точкой функции и рассмотрим интеграл: .

Понятно, что значение данного интеграла будет зависеть от И рассмотрим предел при значения этого интеграла.

В независимости от этого указанный предел будем называть несобственным интегралом II рода на полусегменте .

Если указанный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если особая точка c является внутренней точкой промежутка разбиения, то есть

.

Пример 1:

Теорема (Критерий Коши): Для того чтобы несобственный интеграл сходился на необходимо и достаточно, чтобы такое , что

Выполнялось условие: .

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что сходимость несобственного интеграла означает существование предела

Признак сравнения: Если функции и удовлетворяют условию при И существуют интегралы

То из сходимости (1) следует сходимость (2), а из расходимости (2) следует соответственно расходимость (1).

Следствие: Если, при И , то интегралы

Сходятся и расходятся одновременно.

Пример 2:

– сходится.

Главное значение несобственного интеграла

Пример:

Полученный предел очевидно не существует. Пусть, тогда указанный интеграл:

Пусть определена на И пусть функция интегрируема на любом сегменте.

Определение: Если существует предел , то он называется главным значением несобственного интеграла в смысле Коши и обозначается следующим образом:

(V.P. = Vabeur principal).

В этом случае говорят, что функция интегрируема на прямой . Очевидно, что если несобственный интеграл сходится, то его значение совпадает с его собственным значением. Но может так быть, что несобственный интеграл расходится, но при этом имеет конечное главное значение.

Рассмотрим несобственный интеграл второго рода , где C – внутренняя особая точка интервала .

Определение: Если существует предел «конструкции» следующего вида: ,

То он называется главным значением несобственного интеграла второго рода И обозначается V.P. .

Отметим, что исходный несобственный интеграл может быть расходящимся, то есть может не существовать предел .

Пример:

не существует.

Вычислим интеграл в смысле главного значения:

V.P. .

< Предыдущая		Следующая >