§4.2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода

Теорема 1 (Критерий Коши сходимости несобственных интегралов первого рода): Для того чтобы несобственный интеграл сходился необходимо и достаточно, чтобы выполняется неравенство

Док-во: Обозначим функцией Интеграл то есть .

По определению сходимость несобственного интеграла означает существование .

В свою очередь, для того чтобы существовал этот предел необходимо и достаточно, чтобы выполняется следующее неравенство

, но , таким образом, получаем, что выполняется, ч. т.д.

Вернемся к примеру 4. Рассмотрим следующий интеграл

Зададим и выберем , по критерию Коши исходный несобственный интеграл первого рода сходится.

Теорема 2: (признак сравнения) Пусть при И функции и интегрируемые функции на любом сегменте , тогда из сходимости интеграла

Следует сходимость интеграла

А из расходимости (2) следует расходимость интеграла (1).

Док-во: введём две функции

и

Эти функции подчиняются такому соотношению

Из последней записи следует, что если интеграл (1) сходится, то функция – ограниченная, поэтому функция также будет ограниченной и, следовательно, интеграл (2) сходится. Если же интеграл (1) расходится, то функция неограниченна, поэтому функция также неограниченна и значит интеграл (1) является расходящимся, ч. т.д.

Следствия:

1) при , то сходится при , если то расходится при .

2) и при и то интегралы сходятся и расходятся при этом одновременно.

Пример: ; 0 при Получаем: рассмотрим

Следующий предел: так как исходный интеграл сходится и расходится одновременно с интегралом: .

Сходится при , расходится при .

Признак Дирихле – Абеля

Признак Дирихле – Абеля относится к интегралам следующего вида, а именно:

Теорема 3 (Признак Дирихле – Абеля): Пусть:

1) Функция непрерывна на полупрямой И имеет на этой прямой ограниченную первообразную (),

2) Пусть функция является не возрастающей функцией на промежутке Пусть

При и, кроме того, имеет непрерывную производную на . Тогда интеграл сходится.

Док-во: Для доказательства воспользуемся критерием Коши, для этой цели рассмотрим следующий интеграл

Так как функция является непрерывной (по условию), то интеграл правой части существует. Кроме того, функция не возрастает и При . Поэтому при . Для определенности будем считать, что . Рассмотрим модуль исходного интеграла:

Зададим произвольное, так как функция При , то такая константа; , мы можем сделать значение функции таким , при и выполняется условие, что

исходный интеграл сходится, ч. т.д.

Пример:

Пусть. Функция непрерывна и имеет на полупрямой первообразную (первообразная, очевидно, является ограниченной). Первый признак Дирихле-Абеля выполнен.

2) является убывающей при И стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Дирихле – Абеля исходный интеграл сходится.

< Предыдущая		Следующая >